\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/8}



\title{\textcolor{red}{Fonction carré, fonction cube, fonction inverse,, fonction racine carrée}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Fonction carré}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction carré la fonction $x\mapsto x^2$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{17cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}

\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction carré $x\mapsto x^2$ est définie sur $\mathbb{R}$.

\item Cette fonction est \textbf{\textcolor{red}{paire}} (pour tout $x$, f(-x)=f(x)), donc la courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées $(Oy)$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

Justification :\\
En effet, on peut calculer $x^{2}$ pour n'importe quelle valeur de $x\in\mathbb{R}$.\\
et pout tout $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto x^2$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textcolor{red}{\textbf{Démonstration} :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $[0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=x_1^2$ et $f\left(x_2\right)=x_2^2$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{> 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}$ donc $f\left(x_{1}\right)< f\left(x_{2}\right)$.\\
En effet, $x_2+x_1> 0$ comme somme de nombres positifs et $x_2-x_1> 0$ car on a supposé $x_1<x_2$.\\
Les images sont classées dans \textbf{\textcolor{blue}{le même ordre}} que les antécédents, donc $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0]$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0]$ avec $x_1<x_2\leqslant 0$.\\
On a le même calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{< 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{> 0}< 0$ $\left(x_1+x_2< 0\right) \text{car les deux nombres sont négatifs}$.\\
Les images cette fois sont classées dans l'ordre inverse des antécédents : la fonction est décroissante.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la parité de la fonction et la symétrie de la courbe par rapport l'axe des ordonnées.
\end{enumerate}
\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&0&\c&\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}
Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnées de points (il en faut plus que deux, puisque la courbe n'est pas une droite). Comme la courbe est symétrique, on se limite à des points dont les abscisses sont des valeurs positives et on construit ensuite les points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

En général, on prend ces cinq valeurs positives :
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{l|}}\hline
x&0&\dfrac{1}{2}&1&2&3\\
\hline
f(x)=x^{2}&0&\dfrac{1}{4}&1&4&9\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

On place ces points, puis leurs symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

\newpage


\noindent La courbe représentative de la fonction carré est appelée \textbf{\textcolor{red}{parabole}}. il faut la tracer la plus régulière possible.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(-3.2,-1)(3.2,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3.2,-1)(3.2,10)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.1}{3.1}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)(-0.5,0.25)(-1,1)(-2,4)(-3,9)
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les carrés des nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $0,2^2$ et $0,21^2$

\item $(-2,4)^2$ et $(-2,41)^2$

\item $(-3,1)^2$ et $4,2^2$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,21 sont positifs ; sur $[0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est croissante.\\
$0,2<0,21$ donc $f(0,2)<f(0,21)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0,2^2<0,21^2}}$

\item -2,4 et -2,41 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,41$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-2,4)^2<-2,41^2}}$.

\item $(-3,1)^2=3,1^2$ donc il suffit de comparer $3,1^2$ et $4,2^2$.\\
3,1 et 4,2 sont positifs et $3,1<4,2$ ; sur $[0~;~+\infty[$, $f$ est croissante, donc $3,1^2<4,2^2$, d'où $\boxed{\textcolor{red}{(-3,1)^2<4,2^2}}$
\end{enumerate}

\newpage


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice}} : résoudre graphiquement l'équation $x^{2}=3x+2$.\\
On pose $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=3x+2$. 

On trace les courbes représentatives de ces fonctions. Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses  des points d'intersubsection de ces deux courbes.

Puisqu'il s'agit d'une lecture graphique, les valeurs trouvées sont des valeurs approchées des solutions. la méthode pour trouver les valeurs exactes sera vue en Première.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(5,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](0,0)(-5,-1)(5,16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-2)(5,16)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=2pt]{-5.0}{5.0}{x^2}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-5.0}{5.0}{3*x+2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-0.56,0.32)
\psline[linestyle=dashed](-0.56,0.32)(-0.56,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3.56,12.68)
\psline[linestyle=dashed](3.56,12.68)(3.56,0)
\uput[d](-0.56,0){$x_{1}$}
\uput[d](3.56,0){$x_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On trouve deux solutions : $x_{1}\approx -0,5$ et $x_{2}\approx 3,6$




\subsection{\textcolor{red}{Fonction inverse}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction inverse la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}

\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty~;~0[\cup]0~;~+\infty[$.

\item La fonction inverse $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est \textbf{\textcolor{red}{impaire}}, c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\neq 0$.\\
La courbe représentative de $f$ est donc symétrique par rapport à O.

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R^*}$ et $\mathbb{R^*}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R^*}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\danger : attention, on ne peut parler de variation que sur un intervalle ; il est faux de dire que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : par exemple : $-2<2$ ~;~ $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$ donc $f(-2)<(2)$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Démonstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0< x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_{1}}$ et $f\left(x_2\right)=\dfrac{1}{x_{2}}$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres positifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0[$ avec $\leqslant x_1<x_2<0$.\\
On a le même calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres négatifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]-\infty~;~0[$.\\


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la  symétrie de la courbe par rapport à $O$.
\end{enumerate}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
0 est une \textbf{\textcolor{red}{valeur interdite}}, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}


\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tracer la courbe, on  trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points.\\
On ne calcule que les coordonnées correspondant à des abscisses positives, sin place les points correspondants puis on complète par  symétrie pr rapport à l'origine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$&1&2&4\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&4&2&1&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée \textbf{\textcolor{red}{hyperbole}}.\\
Elle est constituée de deux branches (\textbf{\textcolor{red}{symétriques}} par rapport à l'origine O).


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](.25,4)(.5,2)(1,1)(2,.5)(4,.25)(-.25,-4)(-.5,-2)(-1,-1)(-2,-.5)(-4,-.25)
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}




\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les  nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{0,2}$ et $\dfrac{1}{0,3}$

\item $-\dfrac{1}{2,4}$ et $-\dfrac{1}{2,5}$

\item $-\dfrac{1}{3,1}$ et $\dfrac{1}{4,2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,3 sont positifs ; sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante.\\
$0,2<0,3$ donc $f(0,2)>f(0,3)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{0,2}>\dfrac{1}{0,3}}}$

\item -2,4 et -2,5 sont négatifs ; sur $]-\infty~;~0[$, $f$ est décroissante.\\
$-2,4>-2,5$ ; comme $f$ est décroissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-\dfrac{1}{2,4})<-\dfrac{1}{2,5}}}$.

\item $-3,1<0$ et $4,2>0$ donc $-\dfrac{1}{3,1}<0$ et $\dfrac{1}{4,2}>0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3,1}<\dfrac{1}{4,2}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2 ne sont par dans les mêmes intervalles de définition de la fonction inverse.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{red}{Fonction cube}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction cube la fonction $f:x\mapsto x^3$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est définie sur $\mathbb{R}$

\item Elle est \textbf{\textcolor{red}{impaire}} (f(-x)=-f(x) pour tout $x$) (donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O)

\item Elle est croissante sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\cb&\m{0}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-10.5)(2,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.2,-9)(2.2,9)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2.2,-9)(2.2,9)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{x^3}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](0,-9){Courbe représentative de la fonction $x\mapsto x^3$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Fonction racine carrée}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction racine carrée la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est définie sur $[0~;~+\infty[$ (car on ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif)

\item Elle est croissante sur $[0~;~+\infty[$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration de la croissance }}:
Soient deux nombfres $x_1$ et $x_2$ quelconques, vérifiant $0\leqslant x_1<x_2$ (donc $x_2-x_1>0$)\\
On doit comparer $f\left(x_1\right)$ et $f\left(x_2\right)$ en étudiant le signe de la différence $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\dfrac{\left(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\right)\times \textcolor{red}{\left(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\right)}}{\textcolor{red}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}=\dfrac{\sqrt{x_2}^2-\sqrt{x_1}^2}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$.\\
Le numérateur est positif car $x_1<x_2$.\\
Le dénominateur $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ est positif comme somme de deux nombres positifs.\\
Par conséquent : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0$ d'où $f\left(x_1\right)<f\left(x_1\right)$.\\
`$f$ respecte l'ordre donc $f$ est croissante.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative}} :

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(17,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(17,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-1,-1)(17,4)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{16}{sqrt(x)}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}
