\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textbf{\textcolor{red}{Fonctions affines}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{red}{Définition :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une fonction  $f$, définie sur $\mathbb{R}$, est affine s'il existe deux réels $m$ et $p$ tel que, pour tout $x$, $f(x)=mx+p$.\\
$m$ s'appelle le coefficient directeur et $p$ est l'ordonnée à l'origine.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f:x\mapsto 2x+3$ est une fonction affine car $2x+3=mx+p$ avec $\begin{cases}m=2\\p=3\end{cases}$.

\item $f:x\mapsto \dfrac{3x+5}{7}$ est une fonction affine car $\dfrac{3x+5}{7}=\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{7}=mx+p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{3}{7}\\p=\dfrac{5}{7}\end{cases}$.

\item $f:x\mapsto 5x$ est une fonction affine car $5x=mx+p$ avec $\begin{cases}m=5\\p=0\end{cases}$

On dit alors que $f$ est \textbf{\textcolor{red}{linéaire}} (fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est égale à 0)

\item $f:x\mapsto 8$ est une fonction affine car $5x=mx+p$ avec $\begin{cases}m=5\\p=0\end{cases}$.

Cette fonction est une fonction \textbf{\textcolor{red}{constante}}.

\item $f:x\mapsto 3x^2+7$ n'est pas une fonction affine car il n'existe pas de nombres $m$ et $p$ constants tels que \\$mx+p=3x^2+7$ pour tout $x$. (à cause de $x^2$)
\end{enumerate}


\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : l'ensemble de définition d'une fonction affine est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}}}$.

En effet, on peut calculer $mx+p$ pour tout $x$ réel.

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} : il y a deux façons d'écrire une fonction affine :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \FonctionAffine[Definition]{-3}{2}{0}{0}

\item $f$ est définie par : \FonctionAffine[Ecriture]{-3}{2}{0}{0}
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Calcul d'une image :}} \\
\textbf{\textcolor{red}{Exemple : }} Calculons l'image de 3 par la fonction affine \FonctionAffine[Definition]{5}{4}{0}{0}\\
\FonctionAffine[Image]{3}{5}{4}{}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Calcul d'un antécédent : }}\\
%:
Soit $f$ la fonction affine définie par \FonctionAffine[Ecriture]{7}{3}{0}{0}.\\
Cherchons l'antécédent de 5.\\
\FonctionAffine[Antecedent]{5}{7}{3}{}
L'antécédent de 5 par $f$ est $\dfrac{2}{7}$.


\subsection{\textcolor{red}{Variations}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $f$ une fonction affine définie par : $f(x)=mx+p$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est croissante si, et seulement si, $m>0$.

\item $f$ est constante si, et seulement si, $m=0$.

\item $f$ est décroissante si, et seulement si, $m<0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
Soient deux nombres quelconques $x_1$ et $x_2$, avec $x_1<x_2$. \\
$f(x)=mx+p$ donc $f(x_1)=mx_1+p$ et $f(x_2)=mx_2+p$

\noindent
$f(x_2)-f(x_1)=\left(ax_1+p\right)-\left(m_2+p\right)=mx_1+p-mx_2-p=\textcolor{red}{m}x_1-\textcolor{red}{m}x_2=\boxed{\textcolor{red}{m(x_2-x_1)}}$.

\noindent
Comme $x_2-x_1$ est positif, puisque, par hypothèse, $x_1<x_2$,  $f(x_2)-f(x_1)$ est du signe de $m$.

\noindent
Si $m>0$, $x_1<x_2$ entraîne que $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$, donc $f$ \textbf{\textcolor{red}{respecte l'ordre}} et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\bigskip

\noindent
Si $m=0$, $f$ est constante, car, pour tout $x$, $f(x)=0x+p=b$.

\bigskip

\noindent
Si $m>0$, $x_1<x_2$ entraîne que $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$, donc $f$ \textbf{renverse l'ordre} et $f$ est \textcolor{red}{\textbf{décroissante}}.
\noindent

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}}
\noindent
Soit $f:x\mapsto mx+p$ une fonction affine, avec $m\neq 0$.
\noindent
$f(x)=0\Leftrightarrow mx+p=0\Leftrightarrow mx=-p\Leftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}$.
\noindent
On en déduit les \textbf{tableaux de variations} possibles de $f$, selon le signe de $m$.


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\fbox{\textcolor{red}{Pour $m>0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{p}{m}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak
\fbox{\textcolor{red}{Pour $m<0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{p}{m}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\dh&\m{0}&\db&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{red}{Signe d'une fonction affine}}
D'après les tableaux de variation d'une fonction affine, on en déduit les tableaux de signes suivants :



\parbox{8cm}{\textcolor{blue}{Cas : $m>0$}

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{p}{m}&&\pI\\
\hline
f(x)=mx+p&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{
\textcolor{blue}{Cas : $m<0$}

\bigskip

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{p}{m}&&\pI\\
\hline
f(x)=mx+p&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}}




\subsection{\textcolor{red}{Représentation graphique d'une fonction affine}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Soit $f:x\mapsto mx+p$ une fonction affine.
\noindent
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite, sécante à l'axe des ordonnées.
\noindent
$m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire que la droite passe par le point de coordonnées $(0~;~p)$ (car $f(0)=p$)
\end{bclogo}




\textbf{\textcolor{red}{Interprétation graphique de $\mathbf{p}$}} :


\begin{center}
\psset{unit=1,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-2)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.5}{3.0}{2*x+3.6}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=darkgray](0,3.6)
\uput[r](0,3.6){\darkgray{$p$}}
\uput[dr](0,0){O}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}


\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : toute droite sécante à l'axe des ordonnées est la représentation graphique d'une fonction affine.



\subsection{\textcolor{red}{Interprétation de l'ordonnée à l'origine et du coefficient directeur}}

Soit $f : x\mapsto mx+p$ une fonction affine.
\begin{enumerate}[a)]

\item $f(0)=p$ (ordonnée à l'origine) donc la droite représentative de $f$ comme l'axe des abscisses au point de coordonnées $(0~;~p)$.

\item \noindent \textbf{\textcolor{blue}{\boldmath{Interprétation graphique de $m$} }}:\\
Soit $f:x\mapsto mx+p$ une fonction affine dont la représentation graphique est la droite $\mathscr{D}$.\\
Soient $A\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ deux points distincts de $\mathscr{D}$.\\
Par définition de $f$, on a $f\left(x_A\right)=y_A$ et $f\left(x_B\right)=y_B$.\\
$f\left(x_B\right)=f\left(x_A\right)=\left(mx_A+p\right)-\left(mx_B+p\right)=mx_A+p-mx_B-p=m\left(x_B-x_A\right)$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}}$.\\
Symboliquement, on note $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ où $\Delta$ signifie \og{}différence\fg{}, donc il faut comprendre $\Delta x$ comme \og{}différence des abscisses\fg{} et $\Delta y$ comme différence des ordonnées.\\

\noindent
Si l'on prend $\Delta_{x}=1$, on a $\boxed{\textcolor{red}{\Delta_{y}=m}}$.

\noindent
On en déduit que si l'on se déplace de 1 unité parallèlement à l'axe des abscisses, on se déplace en même temps de  la valeur de $m$ parallèlement à l'axe des ordonnées.

\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(5,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-3)(4,6)
\psplot[plotpoints=200]{-1.0}{3.0}{3*x-2}
\psline{<->}(1,1)(2,1)
\psline{<->}(2,1)(2,4)
\uput[d](1.5,1){$\Delta_{x}=1$}
\uput[r](2,2.5){$\Delta_{y}=m$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} si l'on se déplace de $k$ unités parallèlement à l'axe des abscisses, on se déplace dans le même temps de $km$ unités parallèlement à l'axe des ordonnées.\\
C'est lié au\textbf{ \textcolor{red}{théorème de Thalès}} !

\end{enumerate}


\bigskip


\subsection{\textcolor{red}{Comment tracer graphiquement la représentation graphique d'une fonction affine ?}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{À partir de  deux points :}}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} on veut représenter graphiquement la fonction affine $f:x\mapsto \dfrac{2}{3}x+1$.
\noindent
On sait que la représentation graphique de $f$ est une droite. Pour tracer une droite, il suffit de connaître deux points de celle-ci.
\noindent
On calcule alors les coordonnées de deux points de cette droite, en esssayant d'avoir des coordonnées entières, pour qu'elles soient faciles à placer.
\noindent
L'ordonnée à l'origine vaut 1, donc la droite passe par le point de coordonnées $\left(0~;~1\right)$.
\noindent
On remarque qu'il suffit de prendre $x$ multiple de 3 ($x$ pas trop proche de 0, pour accroître la précision du tracé.)
\noindent
On remplit un tableau :
\begin{center}
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} 
\hline
\cellcolor{cyan!20}x&0&9\\
\hline
\cellcolor{cyan!20}$y=\dfrac{2}{3}x+1$&1&$\dfrac{2}{3}\times 9+1=7$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{minipage}

\end{center}
\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.4cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(10,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2)(10,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-2)(10,8)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-2.0}{10.0}{2/3*x+1}
\rput[bl](-6,-3.24){$f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.5,linecolor=blue](0,1)
\rput[bl](0.08,1.12){\blue{$A$}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.5,linecolor=darkgray](9,7)
\rput[bl](9.08,7.12){\darkgray{$B$}}
\uput[dr](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{En utilisant le coefficient directeur}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : représenter graphiquement la fonction affine $x\mapsto 2x+3$.
\noindent
L'ordonnée à l'origine est 3, donc la droite passe par le point A de coordonnées $(0~;~3)$.
\noindent
Le coefficient directeur est 2, donc $2=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$, c'est-à-dire $\Delta y=2\Delta x$.
\noindent
On choisit par exemple $\Delta x=1$ ; on obtient alors $\Delta y=2\times 1=2$.
\noindent
En partant de A, on se déplace de 1 en abscisses, et alors de 2 en ordonnées.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(6,8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow!40](0,3)(1,3)(1,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2,-2)(6,8)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2,-2)(6,8)
\uput[ul](0,0){0}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.5pt,plotpoints=200]{-2.0}{6.0}{2*x+3}
\rput[bl](-4.2,-5.7){$f$}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0,3)
\uput[ul](0,3){\blue{$A$}}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](0,3)(1,3)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](1,3)(1,5)
\uput[ur](1,5){B}
\uput[d](0.8,3){$\Delta x=1$}
\uput[r](1,4){$\Delta y=2$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}
\noindent
La représentation graphique d'une fonction affine $f\mapsto ax+b$ est une droite (sécante à l'axe de l'axe des ordonnées $(Oy)$) ; on dit que cette droite a pour \textbf{\textcolor{red}{équation réduite}} $\boxed{\textcolor{red}{y=ax+b}}$.

\newpage


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} La droite d'équation  $y=2x+3$ est la représentation graphique de la fonction $f\mapsto 2x+3$.
\begin{center}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49 0.49 1}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(7,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-2)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-3,-2)(3,9)
\uput[dr](0,0){O}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3.0}{3.0}{2*x+3}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,7)
\psline[linestyle=dashed](0,7)(2,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,7)
\uput[r](2,7){$M(x~;~y=2x+3)$}
\uput[u](2,0){$x$}
\uput[r](1,5){$y=2x+3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
\noindent
Trouver l'équation de la droite passant par les points A$(2~;~5)$ et B$(7~;~-1)$.
\noindent
C'est la même chose que de chercher la fonction affine $f$ vérifiant $f(2)=5$ et $f(7)=-1$.
\noindent
Notons $m$ le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine.
\noindent
$m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{\text{B}}-y_{\text{A}}}{x_{\text{B}}-x_{\text{A}}}=\dfrac{-1-5}{7-2}=-\dfrac{6}{5}$.
\noindent
L'équation de la droite est alors $y=-\dfrac{6}{5}x+p$.
\noindent
A appartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient cette équation :
\noindent
$y_{\text{A}}=-\dfrac{6}{5}x_{\text{A}}+p$ donc $5=-\dfrac{6}{5}\times 2+p$.\\
\noindent
D'où $-\dfrac{12}{5}+p=5$ et $p=5+\dfrac{12}{5}=\dfrac{25+12}{5}=\dfrac{37}{5}$.\\
\noindent L'équation de la droite (AB) est $\boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{6}{5}x+\dfrac{37}{5}}}$.






\subsection{\textcolor{red}{Caractérisation d'une fonction affine}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
$f$ est une fonction affine si, et seulement si, l'accroissement $\Delta y$ de l'image est proportionnel à l'accroissement $\Delta x$ de la variable.\\
\noindent Autrement dit, $x_1$ et $x_2$ étant deux réels distincts, $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$ où $m$ est un nombre constant.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
\noindent
Si $f$ est une fonction affine, $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$.
\noindent

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Réciproque :} }
\noindent
Soit $f$ une fonction telle que, pour tous $x_1$ et $x_2$, $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=m$.
\noindent
Alors, en particulier, pour $x$ et 0, on a : $\frac{f(x)-f(0)}{x}=p$ d'où, en posant $f(0)=p$, $f(x)=mx+p$.
\noindent

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Application}} : on connaît les images de deux nombres par une fonction affine et l'on veut l'image d'un troisième nombre, sans trouver l'expression de la fonction affine :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{4}{c|}}
\hline
x&2&4&7\\
\hline
f(x)&-1&5	&\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
Puisque $f$ est affine, on a : $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{f(7)-f(2)}{7-2}$ donc $\dfrac{5-(-1)}{4-2}=\dfrac{f(7)-(-1)}{7-2}$, soit $\dfrac{6}{2}=\dfrac{f(7)+1}{5}$.\\
\noindent
Par conséquent : $3=\dfrac{f(7)+1}{5}$ donc $f(7)+1=3\times 5=15$ d'où $f(7)=15-1=14$ : $\boxed{\textcolor{red}{f(7)=14}}$.



\label{fin}
\end{document}