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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{\textbf{Équations}}}
\date{}
\author{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents


\subsection{\textcolor{blue}{Définition d'une équation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une équation est une égalité dans laquelle figurent un ou plusieurs nombres inconnus.\\
Résoudre cette équation consiste à trouver \textbf{toutes} les valeurs que peuvent prendre ce ou ces nombres inconnus pour que l'égalité soit vraie.
\end{bclogo}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 2x+3=0 a pour solution le nombre $-\dfrac{3}{2}$

\item L'équation $x^2+1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$ donc $x^2=-1$ est impossible dans $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Méthode générale de résolution}}

\ \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On  ne change pas une égalité en additionnant le même nombre aux deux membres d el'égalité ou en multipliant ou en divisant les deux membres par un nombre non nul. (principe d'une balance à plateaux)
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{red}{Équations du premier degré (équations fondamentales)}}



\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Règles de résolution des équations fondamentales}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+a=b$ équiavaut à $x+a\mathbb{\textcolor{red}{-a}}=b\mathbb{\textcolor{red}{-a}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=b-a}}$

\item $x-a=b$ équiavaut à $x-a\mathbb{\textcolor{red}{+a}}=b\mathbb{\textcolor{red}{+a}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=b+a}}$

\item $ax=b$ (avec $a\neq 0$) équivaut à $\dfrac{ax}{a}=\dfrac{b}{a}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{b}{a}}}$

\item $\dfrac{x}{a}=b$ équivaut à $\dfrac{x}{a} \textcolor{red}{\times a}=b \textcolor{red}{\times a}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{x=ba=ab}}$

\end{enumerate}

\end{bclogo}

\end{minipage}\newpage


\subsubsection{\textcolor{red}{Théorème du produit nul)}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Dans $\mathbb{R}$, un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\end{bclogo}

\bigskip

Exemple : \\
On veut résoudre l'équation :\\
$(2x+3)(-5x+7)=0$.\\
\ResolEquation[Produit]{2}{3}{-5}{7}


\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Méthode de résolution d'une équation dans le cas général :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sauf cas particulier, on transpose tout du même côté pour se ramener à une équation du type $A(x)=0$.

\item On essaye de factoriser pour utiliser le théorème du produit nul.\\
Pour cela, on essaye de repérer un facteur commun, sinon, une identité remarquable. S'il n'y a pas de factorisation possible, on développe.
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples : }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $(3x+1)(x+4)=3x+1$.\\
Cette équation est équivalente à $(3x+1)(x+4)-(3x+1)=0$.\\
On remarque que l'on peut factoriser avec $(3x+1)$ comme facteur commun.\\
On obtient $(3x+1)[(x+4)-1]=0$ donc $(3x+1)(x+3)=0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier caas : $3x+1=0$ donne $x=-\dfrac{1}{3}$

\item Deuxième cas : $x+3=0$ donne $x=-3$.
\end{enumerate}

Conclusion : l'équation a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-3~;~-\dfrac{1}{3}\right\}}}$

\item Résoudre l'équation : $(2x+5)^2=(3x-2)^2$.\\
On obtient : $(2x+5)^2-(3x-2)^2=0$, soit : $\left[(2x+5)+(3x-2)\right]\left[(2x+5)-(3x-2)\right]=0$ qui s'écrit :\\
 $(5x+3)(-x+7)=0$.\\
 \ResolEquation[Produit]{5}{3}{-1}{7}
Les solutions sont alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{5}~;~7\right\}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équations du type $\mathbf{x^2=a}$}}
\textbf{\textcolor{red}{Exemples}} :

\begin{enumerate}
\item $x^2=36\Leftrightarrow x^2-36=0\Leftrightarrow x^2-6^2=0\Leftrightarrow (x+6)(x-6)=0$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $x+6=0\Leftrightarrow x=-6$

\item Deuxième cas : $x-6=0\Leftrightarrow x=6$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-6~;~6\}}}$.

\item $x^2=7\Leftrightarrow x^2-7=0\Leftrightarrow x^2-\sqrt{7}^2=0\Leftrightarrow \left(x+\sqrt{7}\right)\left(x-\sqrt{7}\right)=0$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $x+\sqrt{7}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{7}$

\item Deuxième cas : $x-\sqrt{7}=0\Leftrightarrow x=\sqrt{7}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{7}~;~\sqrt{7}\right\}}}$.
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Cas général}} :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a<0$, l'équation n'a pas de solution, car, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $x^2\geqslant 0$, donc $x^2$ ne peut pas être égal à un nombre strictement négatif.

\item $x^2=0$ a pour solution $x=0$

\item Soit $a>0$ ; l'équation s'écrit $x^2-a=0$, c'est-à-dire $x^2-\left(\sqrt{a}\right)^2=0$ qui se factorise en $\left(x+\sqrt{a}\right)\left(x-\sqrt{a}\right)=0$.\\
L'équation a donc deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{a}~;~\sqrt{a}\right\}}}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation sous forme d'un quotient}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
L'équation $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ équivaut à $B(x)\neq 0$ et $A(x)=0$
\end{bclogo}

\end{minipage}

On commence par chercher les valeurs \og interdites\fg{} qui annulent le dénominateur. L'ensemble de définition (valeurs réelles pour lesquelles l'expression globale est définie) est alors $\mathbb{R}$, privé de ces valeurs interdites.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples: }}
\begin{enumerate}[(a)]
\item Résoudre l'équation $\dfrac{2x+3}{x-1}=0$.\\
Condition d'existence : $x-1\neq 0$ donc $x\neq 1$.\\
Pour $x\neq 1$, l'équation s'écrit : $2x+3=0$ qui donne $x=-\dfrac{3}{2}$.\\
$-\dfrac{3}{2}\neq 1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{3}{2}\right\}}}$.

\item Résoudre $\dfrac{x^2-1}{x+1}=0$.\\
On commence par résoudre l'équation $x+1=0$ qui a pour solution $x=-1$.\\
L'ensemble de définition est donc $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.\\
On suppose maintenant $x\neq -1$.\\
L'équation s'écrit alors : $x^2-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$ qui a pour solutions -1 et 1.\\
Or, $x\neq -1$.\\
L'ensemble des solutions de l'équation est donc : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1\}}}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}