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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Développement d'une expression algébrique}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Développements avec la distributivité}}

\begin{bclogo}[couleur =cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Développer une expression algébrique consiste à la transformer en retirant les \og enveloppes\fg{}, c'est-à-dire les parenthèses.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété fondamentale (distributivité)}}
$k(a+b)=ka+kb$

\noindent $k(a-b)=ka-kb$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : 
$\Distri[Fleches]{0}{2}{3}{-7}=\Distri[Etape=2,Reduction,CouleurReduction=red]{0}{2}{3}{-7}=6x-14$

\bigskip

$\Distri[Fleches]{0}{2}{1}{3}=\Distri[Etape=2,Reduction,CouleurReduction=purple]{0}{2}{1}{3}=\Distri[Etape=3]{0}{2}{1}{3}$\\

\bigskip

\noindent On en déduit le développement suivant : (double distributivité)

\noindent $\boxed{\textcolor{red}{\Distri[Cours]{2}{3}{4}{5}=ac+ad+bc+bd}}$

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : $(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd$

\bigskip


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} Quand on a des signes -, on développe comme ci-dessus et on tient compte de la règle des signes : (car $a-b=a+(-b)$)

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\Distri[Cours]{2}{-3}{4}{5}=ac+ad-bc-bd$

\item $\Distri[Cours]{2}{3}{4}{-5}=ac-ad+bc-bd$

\item $\Distri[Cours]{2}{-3}{4}{-5}=ac-ad-bc+bd$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} développer $A(x)=(2x-3)(3x-5)$
\[\Distri[Fleches]{2}{-3}{3}{-5}\]
\begin{align*}
\Distri[All,NomExpression=A(x)]{2}{-3}{3}{-5}
\end{align*}

\bigskip

On peut directement appliquer la règle des signes :\\
$A(x)=(2x-3)(3x-5)=2x\times 3x-2x\times 5-3\times 3x+3\times 5=6x^2-10x-9x+15=\boxed{\textcolor{red}{6x^2-19x+15}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Identités remarquables}}


\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{blue}{Propriété}}
Il y a trois développements particuliers que l'on retrouve sans arrêt au lycée, qu'on appelle identités remarquables :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

\item $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

\item $(a+b)(a-b)=(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a\times a+a\times b+b\times a+b\times b=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2$

\item $(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a\times a-a\times b-b\times a+b\times b=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2$

\item $(a+b)(a-b)=a\times a-ab+ba-b^2=a^2-b^2$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}} \\

\begin{enumerate}[A]
\item $=(2x+3)^2=(a+b)^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=2x\\b=3\end{array}\right.$

\noindent $=a^2+2ab+b^2=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2=\boxed{\textcolor{red}{4x^2+6x+9}}$


\item $=(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2=(a-b)^2$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{7}\\b=\sqrt{3}\end{array}\right.$

\noindent $=a^2-b^2=\sqrt{7}^2-\sqrt{3}^2=7+3=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $=(7x+5)(7x-5)=(a+b)(a-b)$ avec $\left\{\begin{array}{l}a=7x\\b=5\end{array}\right.$

\noindent $=a^2-b^2=(7x)^2-5^2=\boxed{\textcolor{red}{49x^2-25}}$

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Vidéos explicatives}}

Cliquer sur les titres :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \href{https://www.youtube.com/watch?v=gSa851JJn6c}{Distributivité, identités remarquables}

\item \href{https://www.youtube.com/watch?v=o6qVMmA3oTQ}{Comment développer une expression}

\item \href{https://www.youtube.com/watch?v=A8U1QVW7RaU}{Appliquer des identités remarquables} (début de la vidéo)
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}  