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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices (milieux et longueurs de segments)}}\end{center}



\subsection{}%

Dans le repère orthonormé (O~;~I~;~J), les points A, B et C ont pour coordonnées $A(-4~;~4)$ , $B(-1~;~6)$ et $C(1~;~3)$.
\begin{enumerate}[1)]

\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(2,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,4)(-1,6)(1,3)(-2,1)
\uput[u](-4,4){A}
\uput[u](-1,6){B}
\uput[d](1,3){C}
\uput[d](-2,1){D}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange!30](-4,4)(-1,6)(1,3)(-2,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1.5,3.5)
\uput[r](-1.5,3.5){K}
\psline(-4,4)(1,3)
\psline(-1,6)(-2,1)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-1)(2,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-1)(2,7)
\end{pspicture}


\end{center}

\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du milieu $K$ de [AC].
Soit $K$ le milieu de $[AC]$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_C=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-4+1}{2}=-\dfrac{3}{2}$

\item $y_C=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{4+3}{2}=\dfrac{7}{2}$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $K$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{K\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{7}{2}\right)}}$

\item %Calculer la distance AB.-
Calcul de $AB$ : \\
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{\left(-1-(-4)\right)^2+(6-4)^2}=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{13}}}$

\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du symétrique $D$ de $B$ par rapport à $K$.
Soit $D$ le symétrique de $B$ par rapport à $K$.\\
Par propriété de la symétrie centrale, $K$ est le milieu de $[BD]$.\\
Par conséquent : \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_K=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ donc $x_B+x_D=2x_K$ d'où $x_D=2x_K-x_B=2\times \left(-\dfrac{3}{2}\right)-(-1)=-3+1=-2$

\item $y_K=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ donc $y_B+y_D=2y_K$ d'où $y_D=2y_K-y_B=2\times \left(\dfrac{7}{2}\right)-6=7-6=12$
\end{enumerate}
Les coordonnées de D sont : $\boxed{\textcolor{red}{D(-2~;~1)}}$

\item %Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ? Si oui, prouvez-le, et si non, prouvez que ce n'en est pas un.
$K$ est e milieu des diagonales $[AC]$ et $[BD]$ su quadrilatère $ABCD$ donc c'est un parallélogramme.

\item %Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Même consigne.
Calculons $BC$ :\\
$BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^ 2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(1-(-1))^2+(3-6)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=\sqrt{13}}}$.\\
Le parallélogramme $ABCD$ a deux côtés consécutifs de même longueur : c"est  un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.

\item %Le quadrilatère ABCD est-il un carré? Même consigne.
Pour savoir si c'est un carré, regardons s'il a un angle droit.\\
Considérons le triangle $ABC$.\\
$AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}==\sqrt{(1-(-4))^2+(3-4)^2}=\sqrt{5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{26}}}$.\\
Nous avons :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=\sqrt{26}^2=26$

\item $AB^2+BC^2=\sqrt{13}^2+\sqrt{13}^2=13+13=26$

\item Par conséquent : $AC^2=AB^2+BC^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $A BC$ et rectangle en B.\\
\end{enumerate}
$ABCD$ est un mosange qui a un angle droit : c'est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}
\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan est muni d’un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.\\
On considère les points $A(-2~;~-1)$, $B(4~;~3)$ et $F(3~;~4)$.

Figure (non demandée)
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-3)(5,5)
\pstGeonode[PosAngle=180,PointSymbol=x,dotscale=3](-2,-1){A}
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=x,dotscale=3](4,3){B}
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=x,dotscale=3](3,4){F}
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=x,dotscale=3](1,1){M}
\uput[dr](4,-1){$\mathscr{C}$}
\pstCircleOA[linewidth=2pt]{M}{A}
\pstTriangle[linewidth=3pt,fillstyle=solid,fillcolor=red!20](-2,-1){A}(4,3){B}(3,4){F}
\pstRightAngle[linewidth=1.5pt,fillstyle=solid,fillcolor=yellow!30]{A}{F}{B}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-3)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-3)(5,5)

\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}[1)]
\item  $\mathscr{C}$ est le cercle de diamètre [AB].

\begin{enumerate}[a)]
\item %Calculer les coordonnées du centre de ce cercle.
Soit $M$ le centre de ce cercle. $M$ est le milieu du diamètre $[AM]$ donc :\\
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ $M\left(\dfrac{-2+4}{2}~;~\dfrac{-1+3}{2}\right)$ : $\boxed{\textcolor{red}{M(1~;~1)}}$

\item %Calculer le rayon de ce cercle.
Le rayon de ce cercle $\mathscr{C}$ est : $r=MA=\sqrt{\left(x_A-x_M\right)^2+\left(y_My_A\right)^2}=\sqrt{(1-(-2))^2+(1-(-1))^2}=\sqrt{3^2+2^2}\\
=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{13}}}$

\end{enumerate}

\item %Démontrer que le point $F$ appartient au cercle $\mathscr{C}$.
Pour montrer que $F$ appartient à $\mathscr{C}$, on calcule la longueur $MF$ :\\
$MF=\sqrt{\left(x_F-x_M\right)^2+\left(y_M-y_F\right)^2}=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{MF=\sqrt{13}=r}}$.\\
La longueur $MF$ est égale au rayon de cercle $\mathscr{C}$ : $F$ appartient à $\mathscr{C}$

\item %Sans calcul, quelle est la nature du triangle $ABF$ ? Justifiez la réponse.
$F$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ donc le triangle $ABM$ est un \textbf{\textcolor{red}{triangle rectangle}} en $F$.

\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  