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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de la feuille d'exercices sur les ensembles de nombres}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés.
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline
&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R}\\
\hline
3&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{18}{3}=6&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
2\times 10^{-2}=0,02&\notin&\notin&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{22}{5}=\dfrac{44}{10}=4,4&\notin&\notin&\in&\in&\in\\
\hline
\pi&\notin&\notin&\notin&\notin&\in\\
\hline
-\dfrac{32}{4}=-8&\notin&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{5}{6}&\notin&\notin&\notin&\in&\in\\
\hline
\sqrt{144}=12&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\sqrt{1,69}=1,3&\notin&\notin&\in&\in&\in\\
\hline
-\sqrt{36}=-6&\notin&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\subsection{}
Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.

\begin{enumerate}[a)]
\item $7\in\mathbb{N}$

\item $\dfrac{13}{7}\in\mathbb{Q}$

\item $-5\in\mathbb{Z}$

\item $\pi\in\mathbb{R}$

\item $\dfrac{21}{12}=\dfrac{\cancel{3}\times 7}{\cancel{3}\times 4}=\dfrac{7}{4}=\dfrac{7\times 25}{4\times 25}=\dfrac{175}{100}=1,75\in\mathbb{D}$.\\
Autre méthode : $\dfrac{7}{4}=\dfrac{4+3}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{3}{4}=1+\dfrac{3}{4}\\
=1+0,75=1,75\in\mathbb{D}$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

\begin{enumerate}[a)]
\item Tout nombre réel est un nombre rationnel.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $\pi$ est réel, mais pas rationnel.

\item Tout nombre rationnel est un nombre réel.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : d'après le cours, $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ donc tout rationnel est réel.

\item Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $\sqrt{2}^2=2$ qui est un entier, donc un nombre rationnel.

\item Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, 2 est décimal, 3 est décimal, mais $\dfrac{2}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

\item L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, l'inverse de 0,1 est $\dfrac{1}{0,1}=10$ qui est un nombre entier.

\item  Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : par exemple : $\dfrac{1}{3}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)=0$ qui est un entier.

\end{enumerate}

\subsection{}
Compléter par le symbole correct parmi  $\in$, $\notin$, $\subset$, $\not\subset$ :

\begin{enumerate}[a)]
\item $745\in \mathbb{N}$.

\item $\dfrac{6}{2}\in\mathbb{N}$ car $\dfrac{6}{2}=3$.

\item $-9\notin\mathbb{N}$ car -9 est négatif.

\item $\{-26\}\subset\mathbb{Z}$ (mais $-26\in\mathbb{Z}$)\\
L'ensemble formé par le nombre -26 est inclus dans l'ensemble $\mathbb{Z}$.

\item $3,2\notin\mathbb{N}$ car 3,2 est un nombre décimal.

\item $\left\{\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{7}\right\}\notin\mathbb{D}$ car, par exemple, $\dfrac{1}{3}$ n'est pas un nombre décimal.

\item $27\in\mathbb{Z}$

\item $\dfrac{11}{3}\in\mathbb{Q}$

\item $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$

\item $\emptyset\subset\mathbb{Z}$.\\
Remarque : $\emptyset$ est ce qu'on appelle \textbf{\textcolor{red}{l'ensemble vide, ensemble ne contenant aucun élément}} et l'ensemble vide est inclus dans tous les ensembles.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  