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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\textcolor{red}{\Alph{section}.~\arabic{subsection}}} }
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les coordonnées}}\end{center}%https://www.annales2maths.com/2nd-coordonnees-plan-exercices/






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\section{\textcolor{blue}{Coordonnées du milieu}}


\subsection{}

On considère un repère du plan. Dans chacun des cas, déterminer les coordonnées du milieu $M$ de $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item A(1~;~-5) et C(3~;~-9) :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+3}{2}=\dfrac{4}{2}=2$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-5+(-9)}{2}=\dfrac{-14}{2}=-7$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{M(2~;~-7)}}$

\item A(-2~;~1) et C(2~;~0)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-2+2}{2}=\dfrac{0}{2}=0$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$


\item $A(-3~;~\sqrt{2})$ et $C(2~;~-\sqrt{2})$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{-3+2}{2}=\dfrac{1}{2}$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}{2}=\dfrac{0}{2}=0$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)}}$

\item A(1~;~-3) et C(-1~;~3)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+(-1)}{2}=\dfrac{0}{2}=0$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-3+3}{2}=\dfrac{0}{2}=0$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{M(0~;~0)}}$


\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère $(O~;~I~;~J)$, on considère les points $A(2~;~5)$, $C(3~;~-7)$ et $C(-2~;~3)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Déterminer les coordonnées du milieu $M$ de $[AC]$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+(-2)}{2}=\dfrac{0}{2}=0$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{5+3}{2}=\dfrac{8}{2}=4$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont $\boxed{\textcolor{red}{M(0~;~4)}}$.

\item %En déduire les coordonnées du point $D$ tel que $ACCD$ sit un parallélogramme.
$ACCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, les deux diagonales ont le même milieu.
$M$ doit être le milieu de la diagonale $[CD]$.\\
On doit avoir :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M\dfrac{x_C+x_D}{2}$ donc $2x_M=x_C+x_D$ d'où : $x_D=2x_M-x_C\\
=2\times 0-3=-3$

\item $y_M\dfrac{y_C+y_D}{2}$ donc $2y_M=y_C+y_D$ d'où : $y_D=2y_M-y_C\\
=2\times 4-(-7)=15$
\end{enumerate}
Les coordonnées de D sont : $\boxed{\textcolor{red}{D(-3~;~15)}}$
\end{enumerate}


Vérifions en traçant le quadrilatère:
\begin{center}
\psset{unit=.45,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-8)(5,16)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,5)(3,-7)(-2,3)(-3,15)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow!30](2,5)(3,-7)(-2,3)(-3,15)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-8)(5,16)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-8)(5,16)
\uput[ur](2,5){A}
\uput[ur](3,-7){C}
\uput[dl](-2,3){C}
\uput[ul](-3,15){D}
\end{pspicture}

\end{center}



\section{\textcolor{red}{Calcul de distances}}


\subsection{}

Dans un repère orthonormé, on donne les points A(3~;~7), C(-3~;~1) et C(1~;~-3).

%Démontrer que le triangle ACC est un triangle rectangle. Est-il isocèle ? Justifier.
Démontrer que le triangle ACC est un triangle rectangle.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-3-3)^2+(1-7)^2)}\\
=\sqrt{(-6)^2+(-6)^2}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}\\
=\sqrt{6^2\times 2}=6\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{72}=6\sqrt{2}}}$

\item $CC=\sqrt{\left(x_C-x_C\right)^2+\left(y_C-y_C\right)^2}=\sqrt{(1-(-3))^2+(-3-1)^2)}\\
=\sqrt{4^2+(-4)^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2}=\sqrt{4^2\times 2}\\
=4\sqrt{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{CC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-3)^2+(-3-7)^2)}\\
=\sqrt{(-2)^2+(-10)^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=\sqrt{4\times 26}\\
=\sqrt{2^2\times 26}=2\sqrt{26}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{104}=2\sqrt{26}}}$
\end{enumerate}
On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=\sqrt{104}^2=\boxed{\textcolor{red}{104}}$

\item $AC^2+CC^2=\sqrt{72}^2+\sqrt{32}^2=72+32=\boxed{\textcolor{red}{104}}$

\item On constate que $AC^2=AC^2+CC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ACC$ est rectangle en $C$.
\end{enumerate}
\subsection{}
Le repère est orthonormé. Déterminer dans chacun des cas les distances AC , AC et CC. Le triangle ACC
est-il rectangle ?


\begin{enumerate}
\item  A(3~;~0), B(-1~;~0), C(-1~;~3)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-1-3)^2+(0-0)^2}=s\sqrt{(-4)^2+0}=\sqrt{16}=4$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_C\right)^2+\left(y_C-y_C\right)^2}\\
=\sqrt{(-1-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{0+3^2}=\sqrt{9}=3$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-1-3)^2+(3-0)^2}=s\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}\\
=\sqrt{25}=5$

\item $AC^2=\sqrt{25}^2=5$ ; $AC^2+CC^2=4^2+3^2=16+9=25$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.\\
On pouvait trouver sans calcul, car $A$ et $B$ ayant une ordonnée nulle, le segment $[AB]$ appartient à l'axe des abscisses et $B$ et $C$ ayant la même abscisses, $[BC]$ est parallèle à l'axe des ordonnées ; comme les deux axes sont perpendiculaire, les côtés $[AC]$ et $[CC]$ sont aussi perpendiculaires, donc le triangle est rectangle C.
\end{enumerate}

\item A(-2~;~3), C(3~;~2), C(0~;~0)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{5^2+(-1)^2}\\
=\sqrt{26}$

\item $CC=\sqrt{(-3)^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$

\item $AC=\sqrt{(0-(-2))^2+(-3)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

\item $AC^2=26$~;~$CC^2+AC^2=13+13=26$ donc \\
$AC^2=CC^2+AC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ACC est rectangle en C.\\
\end{enumerate}

\item A(0~;~5), C(3~;~6), C(5~;~-2)
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{(3-0)^2+(6-5)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

\item $CC=\sqrt{(5-3)^2+(-2-6)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}$

\item $AC=\sqrt{(5-0)^2+(-2-5)^2}=\sqrt{25+49}=\sqrt{74}$

\item $AC^2=74$ ; $AC^2+CC^2=10+68=78$.\\
$AC^2\neq AC^2+CC^2$.\\
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle ACC n'est pas rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section{\textcolor{red}{Problèmes généraux}}


\subsection{}

Dans un repère du plan, on considère les points E(3~;~4), F(6~;~6) et K(4~;~-1)\\
%Calculer les coordonnées des points G et H tels que EFGH soit un parallélogramme de centre K.
Calculons les coordonnées des points G et H tels que EFGH soit un parallélogramme de centre K.\\
$G$ et $H$ doivent être respectivement les symétriques de $E$ et $F$ par rapport à $K$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $K$ est le milieu de $[EG]$ donc :\\
$x_K=\dfrac{x_E+x_G}{2}$ donc $2x_K=x_E+x_G$ d'où $x_G=2x_K-x_E\\
=2\times 4-3=5$\\
De même, avec une formule analogue : $y_G=2y_K-y_E\\
=2\times (-1)-4=-6$.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{G(5~;~-6)}}$

\item De même, $K$ est le milieu de $[FH]$.\\
On obtient : $2x_K=x_F+x_H$ d'où $x_H=2x_K-x_F\\
=2\times 4-6=2$\\
De même, avec une formule analogue : $y_H=2y_K-y_F\\
=2\times (-1)-6=-8$.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{H(2~;~-8)}}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-9)(7,7)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3,3)(6,6)(5,-6)(2,-8)(4,-1)
\uput[u](3,3){E}
\uput[u](6,6){F}
\uput[d](5,-6){G}
\uput[d](2,-8){H}
\uput[u](4,-1){K}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange!30](3,3)(6,6)(5,-6)(2,-8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-9)(7,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-9)(7,7)

\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-2~;~-3) et C(4~;~1).
%Les points M(3~;~2) et $N\left(-2~;~\dfrac{5}{2}\right)$ sont-ils sur le cercle de diamètre [AC] ? Justifier.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Notons $K$ le centre du cercle ; $K$ est le milieu du diamètre $[AC]$.\\
$K\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{K(1~;~-1)}}$.

\item Le rayon du cercle est :\\
$r=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}}{2}\\
=\dfrac{\sqrt{(4-(-2))^2+(1-(-3))^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{6^2+4^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{36+16}}{2}\\
=\dfrac{\sqrt{52}}{2}=\dfrac{\sqrt{2^2\times \sqrt{13}}}{2}=\dfrac{2\sqrt{13}}{2}=\sqrt{13}$

\item Soit M(3~;~2) $.\\
KM=\sqrt{\left(x_M-x_K\right)^2+\left(y_M-y_K\right)^2}=\sqrt{(3-1)^2+(2-(-1))^2}\\
=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}=r$\\
$KM=r$ donc $M$ appartient au cercle de diamètre $[AC]$.

\bigskip

Soit $N\left(-2~;~\dfrac{5}{2}\right).$\\
$KN=\sqrt{\left(x_N-x_K\right)^2+\left(y_N-y_K\right)^2}=\sqrt{(-2-1)^2+\left(\dfrac{5}{2}-(-1)\right)^2}=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{9+\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{85}{4}}\neq\sqrt{13}$\\
$KN\neq r$ donc $N$ n'appartient pas au cercle de diamètre $[AC]$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(4~;~1), C(0~;~4) et C(-6~;~-4)

\begin{center}
\psset{unit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-8)(5,6)
\pstGeonode[PosAngle=90,PointSymbol=x,dotscale=3](4,1){A}
\pstGeonode[PosAngle=45,PointSymbol=x,dotscale=3](0,4){B}
\pstGeonode[PosAngle=180,PointSymbol=x,dotscale=3](-6,-4){C}
\pstGeonode[PosAngle=-45,PointSymbol=x,dotscale=3](-1,-1.5){K}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=orange!30](4,1)(0,4)(-6,-4)
\pstCircleAB{A}{C}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-7,-8)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-8)(5,6)

\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Calculer AC, AC et CC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(0-4)^2+(4-1)^2}\\
=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

\item $CC=\sqrt{\left(x_C-x_C\right)^2+\left(y_C-y_C\right)^2}=\sqrt{(-6-0)^2+(-4-4)^2}\\
=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(-6-4)^2+(-4-1)^2}\\
=\sqrt{(-10)^2+(-5)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5$
\end{enumerate}

\item %En déduire que le triangle ACC est rectangle.
$AC^2=125$ ; $AB^2+BC^2=25+100=125$ donc $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

\item %Trouver ensuite les coordonnées du centre du cercle circonscrit à ce triangle. Quel est son rayon?
Puisque le triangle ABC est rectangle en B, le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu $K$ de l'hypoténuse $[AC]$.\\
$K\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{K\left(-1~;~-\dfrac{3}{2}\right)}}$\\
Le rayon du cercle est $r=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{125}}{2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}}}$

\end{enumerate}


\subsection{}
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points A(-5~;~-3), C(8~;~3), M(1~;~1) et N$\left(-3~;~\dfrac{39}{4}\right)$.
%Les points M et N sont-ils sur la médiatrice du segment [AC] ? Justifier.
Un point appartient à la médiatrice de $[AC]$ si, et seulement si, il est équidistant de $[AC]$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AM=\sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}=\sqrt{(1-(-5))^2+(1-(-3))^2}\\
=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}$

\item $CM=\sqrt{\left(x_M-x_C\right)^2+\left(y_M-y_C\right)^2}=\sqrt{(1-8)^2+(1-3)^2}\\
=\sqrt{(-7)^2+(-2)^2}=\sqrt{53}$.\\
$AM\neq CM$ donc $M$ n'appartient pas à la médiatrice de $[AC]$ (même s'il est très proche !)
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AN=\sqrt{\left(x_N-x_A\right)^2+\left(y_N-y_A\right)^2}=\sqrt{(-3-(-5))^2+\left(\dfrac{39}{4}-(-3)\right)^2}\\
=\sqrt{2^2+\left(\dfrac{51}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{\numprint{2665}}{16}}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2665}}}{4}$

\item $CN=\sqrt{\left(x_N-x_C\right)^2+\left(y_N-y_C\right)^2}=\sqrt{(-3-8)^2+\left(\dfrac{39}{4}-3\right)^2}\\
=\sqrt{(-11)^2+\left(\dfrac{27}{4}\right)^2}=\sqrt{121+\dfrac{27^2}{16}}=\sqrt{\dfrac{\numprint{2665}}{16}}=\dfrac{\sqrt{\numprint{2665}}}{4}$.\\
$AN=CN$ donc $N$ appartient à la médiatrice de $[AC]$.

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-4)(9,11)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-4)(9,11)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-4)(9,11)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-5,-3)(8,3)(1,1)(-3,9.75)
\uput[d](-5,-3){A}
\uput[d](8,3){C}
\uput[r](1,1){M}
\uput[r](-3,9.75){N}
\psline[linewidth=2pt](-5,-3)(8,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3.2}{3}{(-13*x+19.5)/6}
\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{}

Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O~;~I~;~J), on considère les points A(-3~;~0), B(2~;~1), C(4~;~3) et D(-1~;~2).


\begin{enumerate}
\item %Placer les points A, C, C et D.
Figure à la fin

\item %Démontrer que les segments [AC] et [BD] ont le même milieu K.
Les coordonnées du milieu de $[AC]$ sont $\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\
Celles du milieu de $[BD]$ sont $\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}~;~\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)\\
=\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.\\
On trouve les mêmes coordonnées.\\
Les deux diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu : $K\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$.

\item %Montrer que le triangle OCD est rectangle est isocèle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OC=\sqrt{\left(x_C-x_O\right)^2+\left(y_C-y_O\right)^2}=\sqrt{4^2+3^2}\\
=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

\item $OD=\sqrt{\left(x_D-x_O\right)^2+\left(y_D-y_O\right)^2}=\sqrt{(-1)^2+2^2}\\
=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

\item $DC=\sqrt{\left(x_C-x_D\right)^2+\left(y_C-y_D\right)^2}=\sqrt{(4-(-1))^2+(3-2)^2}\\
=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$
\end{enumerate}
Le triangle $OCD$ n'est ni rectangle (contraposée du théorème de Pythafore) ni isocèle !

\item On considère le point E du plan tel que CODE soit un parallélogramme.
%Quelles sont les coordonnées de E ?
Les deux diagonales $[CD]$ et $[OE]$ doivent avoir le même milieu.\\
Donc :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\dfrac{x_C+x_D}{2=\dfrac{x_0+x_E}{2}}$ soit $\dfrac{4+(-1)}{2}=\dfrac{0+x_E}{2}$ d'où $x_E=3$.

\item $\dfrac{y_C+y_D}{2=\dfrac{y_0+y_E}{2}}$ soit $\dfrac{3+2}{2}=\dfrac{0+y_E}{2}$ d'où $y_E=5$.
\end{enumerate}

\item %Calculer AE
$AE=\sqrt{\left(x_E-x_A\right)^2+\left(y_E-y_A\right)^2}=\sqrt{(3-(-3))^2+5^2}\\
=\sqrt{6^2+5^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{61}}}$

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-2)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-3,0)(2,1)(4,3)(-1,2)(.5,1.5)(0,0)(3,5)
\uput[d](-3,0){A}
\uput[d](2,1){B}
\uput[u](4,3){C}
\uput[u](-1,2){D}
\uput[ur](0,0){O}
\uput[ur](3,5){E}
\psline[linewidth=2pt](-3,0)(4,3)
\psline[linewidth=2pt](2,1)(-1,2)
\psline[linewidth=2pt](-1,2)
\psline[linewidth=2pt](4,3)
\psline[linewidth=2pt](4,3)(3,5)
\psline[linewidth=2pt](-1,2)(3,5)
\pspolygon[linewidth=2pt](-3,0)(2,1)(4,3)(-1,2)
\uput[u](.5,1.5){K}
\end{pspicture}

\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  