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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 8 sur les fonctions affines}}\end{center}


\subsection{}

Les fonctions suivantes sont-elles affines ?\\
Si oui, donner le coefficient directeur est l'ordonnée à l'origine.

\begin{enumerate}[1) $f_1~$]
\item $: x\mapsto 3x+5 $\\
$3x+5=mx+p$ avec $\begin{cases}m=3\\p=5\end{cases}$ donc $f_1$  est affine.

\item $: x\mapsto  -2x - 7,5 $\\
$-2x-7,5=mx+p$ avec $\begin{cases}m=-2\\p=-7,5\end{cases}$ donc $f_2$  est affine.

\item $: x\mapsto \dfrac{3}{x+1}$\\
$\dfrac{3}{x+1}$ ne peut pas se mettre sous la forme $mx+p$ donc $f_3$ n'est pas affine.\\
D'autre part, $f$ n'est pas définie en -1 alors que les fonctions affine sont définies sur $\mathbb{R}$ donc $f_3$ ne peut pas être affine.

\item $: x\mapsto \dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{7}$\\
$\dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{7}=mx+p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{2}{5}\\p=-\dfrac{4}{7}\end{cases}$ donc $f_4$ est affine.

\item $: x\mapsto 3x^2-5$\\
$3x^2-5$ne peut pas se mettre sous la forme $mx+p$ à cause de $x^2$. $f_5$ n'est pas affine.

\item $: x\mapsto 3\sqrt{x}$\\
$3\sqrt{x}$ ne peut pas se mettre sous la forme $mx+p$ à cause de $\sqrt{x}$.\\
D'autre part, on ne peut calculer $f(x)$ que pour $x\geqslant 0$ donc $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ et non sur $\mathbb{R}$.\\
$f_6$ n'est pas affine.

\item $: x\mapsto \dfrac{7x-3}{5}$.\\
$\dfrac{7x-3}{5}=\dfrac{7}{5}x-\dfrac{3}{5}=mx+p$ avec $\begin{cases}m=\dfrac{7}{5}\\p=-\dfrac{3}{5}\end{cases}$ donc $f_7$ est affine.

\item $: x\mapsto \sqrt{2}x$\\
$\sqrt{2}x=\sqrt{2}\times x=mx+p$ avec $\begin{cases}m=\sqrt{2}\\p=0\end{cases}$ donc $f_8$ est affine

\item $: x\mapsto 2(x-\sqrt{7})-2x$.\\
$2(x-\sqrt{7})-2x=\cancel{2x}-2\sqrt{7}-\cancel{2x}=\boxed{\textcolor{red}{-2\sqrt{7}}}$.\\
$-2\sqrt{7}=mx+p$ avec $m=0\\p-2\sqrt{7}$ donc $f_9$ est affine (c'est une fonction constante).

\end{enumerate}

\newpage




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto 3x-4$ une fonction affine.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item %Déterminer les images par $f$ de 3 et de 7.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(3)=3\times 3-4=9-4=5$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(3)=5}}$

\item $f(7)=3\times 7-5=21-5=16$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(7)=16}}$
\end{enumerate}

\item %Déterminer le ou les antécédents par $f$ de -1.
$x$ est un antécédent de -1 si, et seulement si, \\
$f(x)=-1$ donc $3x-4=-1$.\\
On en déduit $3x=3$ d'où $x=1$.\\
L'antécédent de -1 est 1.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Déterminer la fonction linéaire $f$  telle que : \\
%$f(3) = 4$.
On sait que $f$ est linéaire donc il existe $a$ tel que $f(x)=ax$.\\
$f(3)=4$ équivaut à $a\times 3=4$ donc $3a=4$ d'où $a=\dfrac{4}{3}$.\\
$f$ est définie par $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{4}{3}x}}\textbf{}$

\subsection{}
Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[1) $f_1~:$]

\item $x\mapsto 3x+7$\\
Le coefficient directeur est $m=3>0$ donc $f$ est croissante.

\item  : $x\mapsto -7x+1$\\
Le coefficient directeur est $m=-7<0$ donc $f$ est décroissante.

\item $x\mapsto \dfrac{5x-3}{7}=\dfrac{5}{7}x+\left(-\dfrac{3}{7}\right)$.\\
Le coefficient directeur est $m=\dfrac{5}{7}>0$ donc $f$ est croissante.

\item $x\mapsto -\dfrac{1}{5}x+2$\\
Le coefficient directeur est $m=-\dfrac{1}{5}<0$ donc $f$ est décroissante.

\item $x\mapsto\dfrac{-1+5x}{7}$\\
Le coefficient directeur est $m=-\dfrac{1}{7}<0$ donc $f$ est décroissante.

\item $x\mapsto(\pi-5)x + 6$.\\
Le coefficient directeur est $m=\pi-5<0$ donc $f$ est décroissante.

\item $x\mapsto\dfrac{3x+2}{5}-\dfrac{x}{2}$.\\
$\dfrac{3x+2}{5}-\dfrac{x}{2}=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{2}x=\left[\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{2}\right]x+\dfrac{2}{5}\\
=\dfrac{6-5}{6}x+\dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{6}x+\dfrac{2}{5}$.\\
Le coefficient directeur est $m=\dfrac{1}{6}>0$ donc $f$ est décroissante.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $r : x\mapsto 3x-7$ une fonction affine.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est le sens de variation de $f$ ?
$f$ est croissante car le coefficient directeur est \\
$m=3>0$.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=0$
$f(x)=0$ équivaut à $3x-7=0$ donc $3x=7$ d'où $x=\dfrac{7}{3}$.

\item Compléter alors le tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{7}{3}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item La fonction affine $f$ vérifie $f(2)=5$ et $f(6)=3$.\\
%$f$ est-elle croissante ou décroissante ?
$2<6$ mais $f(2)>f(3)$ donc $f$ ne respecte pas l'ordre, donc renverse l'ordre : $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item La fonction affine $g$ vérifie $g(-1)=3$ et $g(2)=6$.\\
%$g$ est-elle croissante ou décroissante ?
$-1<2$ et $g(-1)g(2)$ ; $g$ respecte l'ordre.\\
$g$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  