\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}
\begin{document}
\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 9 (vecteurs et coordonnées )}}
\end{center}

\subsection{}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Soient les points $A$, $B$ et $C$ (voir figure ci-dessous).
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(7,5)
\pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=2,PosAngle={-90,-90,90,90}](1,1){A}(6,2){B}(2,3){C}(7,4){D}
\pstLineAB[linewidth=2pt,arrows=>,arrowsize=2pt 5]{B}{A}
\pstLineAB[linewidth=2pt,arrows=>,arrowsize=2pt 5]{C}{A}
\pstLineAB[linewidth=2pt,arrows=>,arrowsize=2pt 5]{D}{C}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{B}{D}
\pstLineAB[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows=>,arrowsize=2pt 5]{D}{A}
\end{pspicture}

\end{center}
On veut représenter le vecteur somme $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi l'écriture $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ne peut pas se simplifier avec la relation de Chasles.
L'écriture $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ ne peut pas se simplifier avec la relation de Chasles car l'extrémité du premier vecteur n'est pas égale à l'origine su second vecteur, même en permutant les deux vecteurs.

\item Construisons le point $D$ tel que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (voir figure).


\item Aors : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}}}.$

\item On remarque alors que $[AD]$ représente la diagonale du parallélogramme $ABDC$.
\end{enumerate}




\subsection{}
Sur chacune des quatre figures suivantes, placer $M$ tel que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ :



\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1)
\uput[d](1,1){A}
\psline[linewidth=2pt]{->}(1,1)(3,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,4)(5,2)
\uput[u](2,2.5){$\overrightarrow{u}$}
\uput[u](4,3){$\overrightarrow{v}$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,2)
\uput[r](5,2){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,3)
\uput[l](1,3){A}
\psline[linewidth=2pt]{->}(2,2)(2,4)
\psline[linewidth=2pt]{->}(1,1)(5,1)
\uput[r](2,3){$\overrightarrow{u}$}
\uput[u](3,1){$\overrightarrow{v}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,3)(1,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,5)(5,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,5)
\uput[r](5,5){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3,2)
\uput[d](3,2){A}
\psline[linewidth=2pt]{->}(2,1)(1,3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,3)(6,2)
\uput[r](1.5,2){$\overrightarrow{u}$}
\uput[u](4.,2.5){$\overrightarrow{v}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(3,2)(2,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(2,4)(5,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](5,3)
\uput[r](5,3){$M$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(6,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(6,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](2,2)
\uput[d](2,2){A}
\psline[linewidth=2pt]{->}(2,0)(1,3)
\psline[linewidth=2pt]{->}(3,5)(6,1)
\uput[r](1.5,1.5){$\overrightarrow{u}$}
\uput[u](4.5,3){$\overrightarrow{v}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(2,2)(1,5)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,5)(4,1)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4,1)
\uput[r](4,1){$M$}

\end{pspicture}
\end{center}



\subsection{}
Soiznt A(- 2~;~1), B(2~;~3), C(3~;~ -1) et D(7~;~1).
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-2)\\3-1)\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$.

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}7-3\\1-(-1))\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$.
\end{enumerate}

\item %Qu’en déduit-on géométriquement ?
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ car ces vecteurs ont  les mêmes coordonnées.\\
On en déduit que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $A(2~;~5)$, $B(-3~;~8)$ et $C(1~;~-3)$.\\
%On veut calculer les coordonnées de $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\begin{enumerate}
\item $ABCD$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. (\textbf{\textcolor{red}{\danger}} attention à l'ordre des points
)
\item %Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-5\\3\end{pmatrix}}}$

\item %En notant $x_D$ et $y_D$ les coordonnées de $D$, calculer les coordonnées de $\overrightarrow{DC}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1-x_D\\-3-y_D\end{pmatrix}}}$

\item %En déduire les coordonnées de $D$.
Ces deux vecteurs doivent être égaux donc ils doivent avoir les mêmes coordonnées.\\
Donc : $\begin{cases}1-x_D=-5\\-3-y_D=3\end{cases}$ d'où : $\begin{cases}1+5=x_D\\-3-3=y_D\end{cases}$.\\
$D$ a pour coordonnées : $\boxed{\textcolor{red}{D(6~;~-6)}}$\\
Figure (non demandée) :
\begin{center}
\psset{unit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-7)(7,9)
\pstGeonode[PosAngle={90,0,-90}, PointSymbol={*,o},
linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,CurveType=polygon,
PointNameSep={1em,2em,3mm}](2,5){A}(-3,8){B}(1,-3){C}(6,-6){D}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-7)(7,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-7)(7,9)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2;1), C(2;3), D(1;0) et M(0;7).

\begin{enumerate}
\item %Soit $B$ le milieu de $[AM]$; calculer les coordonnées de $B$.
$x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2}=\dfrac{-2+0}{2}=-1$ et \\
$y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}=\dfrac{1+7}{2}=4$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{B(-1~;~4)}}$.

\item %Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-(-2)\\3-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}2-1\\3-0\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (mêmes coordonnées ) donc $ABCD$ un parallélogramme.
\end{enumerate}

\item %Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle isocèle et rectangle ;\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{1^2+3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$.

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}2-(-1)=3\\3-4=-1\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$ d'où \\
$BC=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$.

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2-(-2)=4\\3-1=2\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ d'où \\
$AC=\sqrt{4^2+2^2=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{20}}}}$

\item $AB=BC=\sqrt{10}$ donc $ABC$ est isocèle en $B$.\\
$AC^2=20$ et $AB^2+BC^2=10+10=20$ donc $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.\\
Le triangle ABC est donc isocèle rectangle en $B$.

%en déduire la nature exacte du quadrilatère $ABCD$.
$ABCD$ est un parallélogramme ; il a deux côtés consécutifs de même longueur, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{losange}}. De plus, il  a un angle droit en $B$, donc c'est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,8)
\pstGeonode[linewidth=2pt,CurveType=polygon,PointSymbol=x,dotscale=3](-2,1){A}(-1,4){B}(2,3){C}(1,0){D}
\pstGeonode[PointSymbol=x](0,7){M}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,8)
\pstLineAB[linewidth=2pt]{B}{M}
\end{pspicture}


\end{center}



\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2~;~1) ,B(-l~;~-2), C(5~;~0) et D(4~;~3). 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-(-2)=-1+2=1\\-2-1=-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-4=1\\0-3=-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (même coordonnées) donc $ABCD$ est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.
\end{enumerate}

\item %Montrer que $ABCD$ est  un rectangle. 
Pour montrer que c'est un rectangle, on peut montrer qu'il a un angle droit, ou que ses diagonales ont la même longueur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{49+1}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$.

\item $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}4-(-1)=5\\3-(2)=5\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}$ d'où \\
$BD=\sqrt{5^2+5^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$.

\item $AC=BD$ : $ABCD$ un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur : c'est un \textbf{\textcolor{red}{rectangle}}.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(6,4)
\pstGeonode[linewidth=2pt,CurveType=polygon,PointSymbol=x,dotscale=3,PosAngle={90,180,45,0}](-2,1){A}(-1,-2){B}(5,0){C}(4,3){D}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(6,4)
\end{pspicture}

\end{center}
\end{multicols}
%A(-2~;~1) ,B(-l~;~-2), C(5~;~0) et D(4~;~3).
\label{fin}
\end{document}