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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 6}}\end{center}

Dans tous les exercices, le plan est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
$ABCD$ est un rectangle de centre $O$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Faire une figure.
Figure :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=2pt,PosAngle={180,0,0,180}](0,0){A}(5,0){B}(5,4){C}(0,4){D}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{A}{C}
\pstLineAB[linewidth=2pt]{B}{D}
\pstInterLL{A}{C}{B}{D}{O}
\end{pspicture}

\end{center}

\item parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies ?


\begin{enumerate}[a)]


\item $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ; faux, car ces deux vecteurs n'ont pas le même sens.

\item$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ; vrai

\item$AB=CD$ ; vrai (dans un rectangle, les côtés opposeront la même longueur)

\item$AC=BD$  : vrai

\item$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB}$ : faux ! Les deux vecteurs n'ont pas la même direction.

\item$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$ : vrai, car $O$ est le milieu de la diagonale $[BD]$.

\item$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ : faux (sens différents)

\item$OA=OB$ : vrai car $O$ est le milieu des deux diagonale et qu'elles ont la même longueur.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soient les points $A(5~;~9)$, $B(0~;~1)$ et $C(8,0)$.\\
%Le triangle $ABC$ est-il isocèle ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(0-5)^2+(1-9)^2}\\
=\sqrt{25+64}=\sqrt{89}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(8-0)^2+(0-1)^2}\\
=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}$

\item $AB=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}=\sqrt{(8-5)^2+(0-9)^2}\\
=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}$
\end{enumerate}
Les trois côtés ont des longueurs différentes : le triangle n'est pas isocèle.

\subsection{}
Soient les points $A\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$, $B\left(\dfrac{1}{6}~;~\dfrac{7}{6}\right)$ et $C\left(\dfrac{5}{6}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer les longueurs des côtés du triangle $ABC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{1}{6}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+\left(\dfrac{7}{6}-\dfrac{1}{2}\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{4}{6}\right)^2+\left(\dfrac{4}{6}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{2}{3}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}}=\dfrac{\sqrt{8}}{3}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{6}\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{4}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{6}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{5}{6}-\left(-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}\right)^2+0}=\sqrt{\left(\dfrac{8}{6}\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{3}\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{3}}}$
\end{enumerate}


\item %Démontrer que le triangle ABC est rectangle isocèle. Préciser le sommet de l'angle droit.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=\left(\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{16}{9}$

\item $AB^2+BC^2=\left(\dfrac{\sqrt{8}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{8}}{3}\right)^2=\dfrac{8}{9}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{16}{9}$

\item $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, le triangle ABC, rectangle en B.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
$ABCD$ et $AEFD$ sont deux parallélogrammes.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Faire une figure.
Par exemple :
\begin{center}
\psset{unit=.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-5)(8,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,1)(5,1)(7,4)(3,4)(4,-4)(6,-1)
\uput[l](1,1){A}
\uput[r](5,1){B}
\uput[u](7,4){C}
\uput[u](3,4){D}
\uput[d](4,-4){E}
\uput[r](6,-1){F}
\pspolygon(1,1)(5,1)(7,4)(3,4)
\pspolygon(1,1)(4,-4)(6,-1)(3,4)
\psline[linestyle=dashed](4,-4)(5,1)
\psline[linestyle=dashed](6,-1)(7,4)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(0,-5)(8,5)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,-5)(8,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\item $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$ car $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{EF}$ puisque $ABCD$ est un parallélogramme et $AEFC$ aussi.

\item %Que peut-on alors dire du quadrilatère $BCFE$  ?
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{EF}$ donc $BCFE$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Amérique du Nord 2001}}
Soient les points M$(- 2~;~- 4)$ et N$(2~;~- 2)$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le triangle OMN est isocèle en M. (On rappelle que $O$ est l'origine du repère)
Figure en fon d'exercice :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OM=\sqrt{(-2-0)^2+(-4-0)^2}=\sqrt{4+16}\\
=\sqrt{20}=\sqrt{2^25}=2\sqrt{5}$

\item $MN=\sqrt{(2-(-2))^2+(-2-(-4))^2}\\
=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=\boxed{\textcolor{red}{2\sqrt{5}}}$

\item $OM=MN$ donc $OMN$ est isocèle en $M$.
\end{enumerate}

\item Construire le point P, image de N par la translation de vecteur $\overrightarrow{MO}$. 

\item %Quelle est la nature du quadrilatère OMNP ? Justifier. 
Par construction, on a : $\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{NP}$ donc $OMNP$ est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\item %Calculer les coordonnées de K, point d'intersection de [ON] et de [MP]. 
Le point d'intersection de [ON] et de [MP] est le milieu des deux diagonales, donc en particulier celui de $[0N]$.\\
Alors : $K\left(\dfrac{x_O+x_N}{2}~;~\dfrac{Y_O+y_N}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{K\left(1~;1\right)}}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,3)
\pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=2pt,PosAngle={65,180,0,0}](0,0){O}(-2,-4){M}(2,-2){N}(4,2){P}
\pstLineAB[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{M}{P}
\pstLineAB[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{O}{N}
\pstInterLL{0}{N}{M}{P}{K}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(5,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(5,3)
\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}


\subsection{}%https://rousselc.e-monsite.com/medias/files/ex-translations.pdf
\begin{center}
\psset{unit=.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(34,11)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](0,0)(34,11)
\psline[linewidth=2pt](7,1)(10,7)
\psline[linewidth=2pt](10,7)(17,9)
\psline[linewidth=2pt](17,9)(19,5)
\uput[l](7,1){E}
\uput[l](10,7){A}
\uput[r](17,9){B}
\uput[r](19,5){C}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](19,5)(12,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](17,9)(14,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](10,7)(12,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](7,1)(14,3)
\uput[u](12,3){D}
\uput[d](14,3){F}
\end{pspicture}

\end{center}\begin{enumerate}[1)]
\item Tracer les parallélogrammes $ABCD$ et $AEFB$.

\item %Quelle est l’image du point $B$ par la translation qui transforme $C$ en $D$ ?
L’image du point $B$ par la translation qui transforme $C$ en $D$ est $A$.

\item %Quelle est l’image du point $B$ par la translation qui transforme $A$ en $E$ ?
Ll’image du point $B$ par la translation qui transforme $A$ en $E$ est $F$.

\item %Quelle est l’image du segment $[AE]$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ?
L’image du segment $[AE]$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ est $[BF]$

\item %Quelle est l’image du point $D$ par la translation qui transforme $E$ en $F$ ? Justifier.
L’image du point $D$ par la translation qui transforme $E$ en $F$ est C car $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donc $\overrightarrow{EF}=DC$.
\end{enumerate}









\label{fin}
\end{document}  

