\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD\no 4 
}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On donne ci-dessous, le tableau de variations d'une fonction :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-9&&5&&10\\
\hline
\m{f(x)}&-6&\c&\h{2}&\d&-14\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%Comparer si possible : $f(-6)$ et $f(10)$.
Sur $[-6~;~10]$, $f$ n'est pas monotone, donc on ne peut pas utiliser le sens de variation de $f$.\\
Mais, d’après le tableau de variations, $f(10) =-14$ et comme $-6\in [-9~;~3]$, alors $-6 < f(-6) < 2$.\\
On en déduit que $f(-6) > f(10)$.\\
En eﬀet, $f(-6)$ est un nombre compris entre -6 et 2, il sera donc supérieur à $f(10) =-14$.

\subsection{}
On donne ci-dessous, le tableau de variations d'une fonction $f$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-1&&5&&7\\
\hline
\m{f(x)}&4&\c&\h{11}&\d&4&\c&\h{10}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%Comparer si possible : $f(-3)$ et $f(6)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Comme $-3 \in [-5~;~-1]$, alors $4 < f(-3) < 11$.

\item Comme $6\in[5~;~7]$, alors $4 < f(6) < 10$.
\end{enumerate}
Ces deux encadrements ne permettent pas de comparer $f(-3)$ et $f(6)$.\\
Ainsi ne peut-on pas comparer $f(-3)$ et $f(6)$.


\end{multicols}


\subsection{}%http://xriadiates.e-monsite.com/medias/files/combine-10-copier.pdf
Une fonction $f$ a pour tableau de variation :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&& -8&& -5&& -3&& -2&& 1&& 4&& 6\\
\hline
\m{f(x)}&\h{-3}&\d&-9&\cb&\m{0}&\ch&\h{3}&\dh&\m{0}&\db&-10&\rightarrow&-10&\c&\h{-4}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
La flèche horizontale signifie que la fonction est constante sur l'intervalle $[1~;~4]$.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[1)]
\item À partir du tableau de variation ci-dessous, recopier et compléter les égalités ou inégalités suivantes en justifiant :

\begin{enumerate}
\item %$f (-1,9)\dots f (-0,2)$
$f (-1,9)> f (-0,2)$ car $-1,9 <-0,2$ et ces deux nombres appartiennent à $[-3~;~1]$, intervalle sur lequel$f$ est décroissante.

\item %$f (-6,9)\dots f (-4,7)$
$f(-6,9) < f (-4,7)$ car $-6,9 <- 4,7$ et $f$ est croissante sur [-8~;~-3], intervalle auxquels appartiennent -6,9 et -4,7.

\item %$f (1,7)\dots f (3,1)$
$ f (1,7) = f (3,1)$ car $1,7 < 3,1$ et f est constante sur $[1~;~4]$.
\end{enumerate}

\item %Peut-on comparer l’image des nombres -9,5 et -8,5 ? Justifier.
-9,5 et -8,5 appartiennent à l'intervalle $[-10~;~-8]$.\\
Sur cet intervalle, $f$est décroissante donc renverse l'ordre.\\
$-9,5<-8,5$ donc $f(-9,5)>f(-8,5)$.

\item %Peut-on comparer l’image des nombres -6,5 et 4,7 ? Justifier.
On ne peut pas comparer $f(-6,5)$ et $f(-4,7)$ car la fonction $f$ n’est pas monotone (elle change de sens de variation) sur $[-6,5 ; -4,7]$.

\item %Peut-on comparer l’image des nombres -4, 4 et 4, 2 ? Justifier.
$f(-4,4) > f (4,2)$ car d’après le signe de la fonction $f(-4,4) > 0$ et $f (4,2) <0$
 \end{enumerate}


\end{multicols}

\newpage



\subsection{}
On suppose le plan muni d’un repère $(O~;~I~;~J)$.\\
Dans chacun des cas, déterminez les coordonnées du milieu du segment dont les extrémités sont fournies :
\begin{enumerate}[a)]
\item $A(2~;~3)$ et $B(5~;~-1)$\\
$M\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}~;~\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{2+5}{2}~;~\dfrac{3+(-1)}{2}\right)$ : $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{7}{2}~;~1\right)}}$

\item $C(-1~;~-2)$ et $D(-4~;~3)$\\
$M\left(\dfrac{x_C+x_D}{2}~;~\dfrac{y_C+y_D}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-1+(-4)}{2}~;~\dfrac{-2+3}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{-5}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$

\item $E\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{4}\right)$ et $F\left(\dfrac{2}{3}~;~-\dfrac{2}{5}\right)$
$M\left(\dfrac{x_E+x_F}{2}~;~\dfrac{y_E+y_F}{2}\right)$\\
$\dfrac{x_E+x_F}{2}=\dfrac{\frac12+\frac23}{2}=\dfrac{\frac{3+4}{6}}{2}=\dfrac{\frac76}{2}=\dfrac{7}{6}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{12}$\\
$\dfrac{y_E+y_F}{2}=\dfrac{\frac54+\left(-\frac25\right)}{2}=\dfrac{\frac{25-8}{20}}{2}=\dfrac{\frac{17}{20}}{2}=\dfrac{17}{20}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{40}$.\\
Les coordonnées de $M$ sont $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{7}{12}~;~\dfrac{17}{40}\right)}}$

\item I et J\\
Les coordonnées de $I$ sont $(1~;~0)$ et celles de $J$ sont $(0~;~1)$.\\
Le milieu $M$ de $[IJ]$ est $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.
 \end{enumerate}

\subsection{}
Soit $(O~;~I~;~J)$ un repère.\\
On considère les points $A(2~;~1)$, $B(7~;~-1)$, $C(6~;~3)$ et $D(15)$.\\
On note $M$ le milieu de la diagonale $[AC]$  et $M'$ le milieu de la diagonale $[BD]$.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer les coordonnées de $M$ puis de $M'$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $M\left(\dfrac{2+6}{2}~;~\dfrac{1+3}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M(4~;~2)}}$

\item $M'\left(\dfrac{7+1}{2}~;~\dfrac{-1+5}{2}\right)$ donc $M'(4~;~2)$.
\end{enumerate}

\item %En déduire que $ABCD$ est un parallélogramme.
$M$ et $M'$ ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonale du quadrilatère, ABCD ont le même milieu : c'est un parallélogramme.

\end{enumerate}
Figure (non demandée) : 
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-2)(8,6)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=orange!30](2,1)(7,-1)(6,3)(1,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(8,6)

\end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  