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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  4 (généralités sur les fonctions)}}\end{center}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $[-4~;~5]$ par $f(x)=\dfrac{x+3}{x+5}.$

\begin{enumerate}
\item %Calculer l'image de $0$ par la fonction $f$.
L'image de $0$ par la fonction $f$ est $f(0)=\dfrac{0+3}{0+5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$.

\item %Calculer $f(-3)$ et $f(5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-3)=\dfrac{-3+3}{-3+5}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $f(5)=\dfrac{5+3}{5+5}=\dfrac{8}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{5}}}$
\end{enumerate}

\item %Le point $A(4~;~0,777)$ appartient-il à la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de $f$ ?
$f(4)=\dfrac{7}{9}\approx 0,77777777777777\cdots\neq 0,777$ donc $\boxed{\textcolor{red}{A\notin\mathscr{C}}}$.\\
Autre méthode : $\dfrac{7}{9}=0,777$ équivaut à $7=9\times 0,777$ qui est impossible, car $9\times 0,777$ est un nombre décimal qui se termine par un 3 (car 79=63)

\item %Quel est l'antécédent de $-1$ par $f$ ?
Un antécédent de -1 est un nombre $x$ vérifiant $f(x)=-1$.\\
$f(x)=-1$ équivaut à $\dfrac{x+3}{x+5}=-1$ donc $x+3=-(x+5)$ qui donne :\\
$x+3=-x-5$ donc $2x=-8$, soit $x=-4$.\\
L'antécédent de -1 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{-4}}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$.

\noindent Les points marqués par une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.71}
\begin{pspicture}(-5,-4,)(10,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-5,-4,)(10,5)%grille
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(-5,0)(7,0)%axe horizontal
%\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-2)(0,6)%axe vertical
%repère
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-5,-4,)(10,5)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red,arrows={)-}](-4,2)(-3,3)(-2.5,2.5)(-2,2)(-1,-1)(0,-3)(1,0)(2,1)(3,2)(4,1)(5,0)(6,1)(7,2)(7.5,2.5)(8,4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-4,2)(-3,3)(-2,2)(-1,-1)(0,-3)(1,0)(2,1)(3,2)(4,1)(5,0)(6,1)(7,2)(8,4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-4,3)(8,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue,linestyle=dashed](-4,2)(8,2)
\uput[u](7,2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ de $f$ ?
L'ensemble de définition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-4~;~8]}}$.

\item %Donner les images de 3 ; de 6 et de -1 par la fonction $f$.
$\boxed{\textcolor{red}{f(-1)=-1}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(3)=2}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{f(6)=1}}$.

\item %Donner le(s) antécédent(s) éventuel(s) de 2,5 ; de -1 et de 4,5.
Les antécédents de 2,5 sont -3,7 ; -2,5  et 7,5.

\item %Quel est le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est $\boxed{\textcolor{red}{4}}$, atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=8}}$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ ? Pour quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ sur $\mathscr{D}$ est $\boxed{\textcolor{red}{-3}}$, atteint pour $\boxed{\textcolor{red}{x=0}}$.

\item %Résoudre graphiquement l' équation : $f(x)=3$
On cherche les abscisses des points de la courbe ayant une ordonnée égale à 3.\\
Les solutions sont -3 et 7,7 environ. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~7,7\}}}$.

\item Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
\begin{enumerate}

\item $f(x)<0$ a pour solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-0,7~;~1[}}$.

\item $f(x)\leqslant 2$.\\
On cherche les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée $y$ vérifie $y\leqslant 2$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-4\} \cup [-2~;~7]}}$

\item $f(x)>1$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-4~;~-1,6] \cup ]2~;~4[ \cup ]6~;~8]}}$.
\end{enumerate}

\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
Tableau de variations de la fonction $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-4&&-3&&0&&3&&5&&8\\
\hline
\m{f(x)}&2&\c&\h{3}&\d&-3&\c&\h{2}&\d&0&\c&\h{4}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Ci-dessous est représentée la courbe $\mathscr{C}$, représentative d'une fonction $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-7)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-7)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-4,-7)(5,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=800]{-4}{5}{(x+3)*(x-2/3)*(x-4)/6}
\psdots(-4,-6.222)(5,5.777)
\uput[r](4.5,2.4){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-4~;~5]}}$.

\item %Quelles sont les images de -4, de -2, de 1 et de 4 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-4)\approx -6,2}}$.

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-2)\approx 2,7}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(1)\approx -0,7}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(4)=0}}$
\end{enumerate}

\item %Quels sont les antécédents de 0 ?
Les antécédents de 0 sont -3~;~-0,7 et 4. 

\item %Combien 1 a-t-il d'antécédents ? Quels sont-ils ?
1 a trois antécédents par $f$ : ce sont : -2,7~;~0,2 et 4,3 (valeurs approchées)

\item %Quel est l'antécédent de 4 ?
L'antécédent de 4 est environ 4,7.

\item %Donner une valeur approchée du maximum de $f$ sur [-4~;~0].
Sur $[-4~;~0]$, le maximum de $f$ est environ 3.

\item %Donner une valeur approchée du maximum de $f$ sur [0~;~5].
Sur $[0~;~5]$, le maximum de $f$ est environ 5,8.

\item %Donner une valeur approchée du minimum de $f$ sur [0~;~5].
Sur [0~;~5], le minimum de $f$ est environ -2,5.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\subsection{}
Voici le tableau de variation d'une fonction $f$ : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&-12&&0&&4&&16\\
\filet
\m{f(x)}&\h{4}&\d&-3&\c&\h{11}&\d&6\\
\filet
\end{variations}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de 4 ?
L'image de 4 est 11.

\item %Combien le nombre -5 a-t-il d'antécédents par f ?
-5 n'a aucun antécédent par $f$ puisque le minimum de $f$ est -3. 

\item %Combien le nombre 2 a-t-il d'antécédents par f ?
2 a deux antécédents, un entre -12 et 0, l'autre entre 0 et 4.

\item Comparer lorsque c'est possible en justifiant : 


\begin{enumerate}
\item $f(-5)$ et $f(5)$.\\
$-5\in[-12~;~0]$ et $f$ est  \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)\leqslant 4}}$.

\noindent $5\in[4~;~16]$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(5)\geqslant 6}}$.

\noindent On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{f(-5)<f(5)}}$.

\item %$f(1)$ et $f(2)$.
\noindent 1 et 2 appartiennent à l'intervalle $[0~;~4]$ ; $1<2$ et $f$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}} sur cet intervalle, donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1)\leqslant f(2)}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  