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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 19 (équations)}}\end{center}




\subsection{}
%Trouver une équation dont l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}=\left\{1~;~2~;~3~;~4\right\}$.
Une équation dont l'ensemble des solutions est $\mathscr{S}=\left\{1~;~2~;~3~;~4\right\}$ est par exemple :
\[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=0\]

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[1)]

\item $9x^2=64\iff 9x^2-64=0\iff (3x)-8^2=0\iff (3x+8)(3x-8)=0$.\\
Un produit de facteur est nul aussi, et seulement si, l'un des facteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3x+8=0\iff 3x=-8\iff x=-\dfrac{8}{3}$

\item $3x-8=0\iff 3x=8\iff x=\dfrac{8}{3}$
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{8}{3}\right\}}}$

\item $x^2+x+1=1\iff x^2+x=0\iff x(x+1)=0$.\\
Avec le théorème du produit nul, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~0\}}}$

\item $(x+1)^2=(3x+3)(2x-3)\\
\iff  (x+1)^2-(3x+3)(2x-3)=0\\
\iff  (x+1)^2-3(x+1)(2x-3)=0\\
\iff  (2x+1)\left[(x+1)-3(2x-3)\right]=0\\
\iff  (2x+1)(x+1-6x+9)=0\\
\iff  (x+1)(-5x+10)=0\\
\iff  (x+1)\times (-5)(x-2)=0\\
\iff  \boxed{\textcolor{red}{(x+1)(x-2)=0}}$

\bigskip

On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~2\}}}$

\item $(x+4)^2=16(2x-5)^2\\
\iff (x+4)^2-16(2x-5)^2=0\\
\iff (x+4)^2-\left[4(2x-5)\right]^2=0\\
\iff \left[(x+4)+4(2x-5)\right]\left[(x+4)-4(2x-5)\right]=0\\
\iff (x+4+8x-20)(x+4-8x+20)=0\\
\iff (9x-16)(-7x+24)=0$

\bigskip
On applique le théorème du produit nul :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $9x-16=0\iff 9x=16\iff x=\dfrac{16}{9}$

\item $-7x+24=0\iff -7x=-24\iff x=\dfrac{24}{7}$
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{16}{9}~;~\dfrac{24}{7}\right)}}$.
\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
En augmentant de 7 \si{\centi\metre} la longueur de chaque côté d’un carré, l’aire du nouveau carré augmente de  81~\si{\square\centi\metre}.\\
%Quelle est l’aire du carré initial?
Soit $x$ la longueur du carré initial.\\
Son aire vaut $x^2$.\\
Le côté du nouveau carré vaut $x+7$ et son aire vaut $(x+7)^2$.\\
Par conséquent, on a : $\boxed{\textcolor{red}{(x+7)^2=x^2+81}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Résolution}} :\\
$(x+7)^2=x^2+81\iff x^2+14x+49=x^2+81\iff 14x+49=81\iff 14x=81-49=12\iff x=\dfrac{32}{14}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{7}}}$.\\
Le carré initial a un côté égale à $\dfrac{16}{7}$.

\subsection{}
Déterminer deux entier naturels consécutifs dont la différence des carrés vaut 303.\\
Sot $n$ le plus petit des deux entiers.\\
L'autre vaut $n+1$.\\
Alors : $(n+1)^2-n^2=303$.\\
En développant, on trouve :\\
$n^2+2n+1-n^2=303\iff 2n+1=303\\
\iff 2n=302\iff \boxed{\textcolor{red}{n=151}}$.\\
Les entiers sont 151 et 152

\columnbreak

\subsection{}%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-corriges-mise-en-equation/
On rappelle que la vitesse moyenne d’un objet est donnée par la formule $v=\dfrac{d}{t}$  où $v$ est la vitesse et $t$ le temps mis pour parcourir la distance $d$  (attention à la concordance des unités).\\

\begin{enumerate}[1)]
\item Un automobiliste parcourt 36  km en  18 min.\\
%Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?
1 min=$\dfrac{1}{60}$h donc 18 min=$\dfrac{18}{60}$ h=$\dfrac{3}{10}$ h.\\
$v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{36}{\frac3{10}}=36\times \dfrac{10}{3}=120$ km/h

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Exprimer $t$ en fonction de $v$ et $d$.
$v=\dfrac{d}{t}$ donc $t=\dfrac{d}{v}$.

\item %Un cycliste roule à la vitesse moyenne de 30 km/h. Combien de temps a-t-il mis pour parcourir 18 km ?
$v=30$ ; $d=18$.\\
$t=\dfrac{18}{30}=0,6$ h.\\
Le cycliste a mis 0,6h, soit $0,6\times 60$ min=36 min.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Exprimer $d$ en fonction de $v$ et $t$.
$v=\dfrac{d}{t}\iff \boxed{\textcolor{red}{d=vt}}$

\item %Déterminer la distance parcourue par une moto roulant à la vitesse moyenne de 110 km/h pendant 42 minutes.
$42$ min$=42\times \dfrac{1}{60}=\dfrac{7}{10}$ h\\
Alors : $d=110\times \dfrac{7}{10}=\boxed{\textcolor{red}{77}}$.\\
La moto a parcouru 77 km
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Exprimer la longueur du rayon $r$ d’un disque en fonction de son aire $\mathscr{A}$.
$\mathscr{A}=\pi r^2$ donc $r^2=\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}$ d'où, comme $r$ est positif : $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{\dfrac{\mathscr{A}}{\pi}}}}$

\item %Quel est le rayon d’un disque dont l’aire est de 30~\si{\square\centi\metre}?
Si $\mathscr{A}=30$, $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{\dfrac{30}{\pi}}}}$

\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  