\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{correction du TD \no 18 sur les équations}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Trouver l'erreur dans la résolution suivante.\\On ne demande pas de résoudre l'équation.

\begin{enumerate}[1)]
	\item   Carine doit résoudre l'équation suivante : $-9v + 5 = 7 + 7v.$
          \\ Voilà ce qu'elle écrit :
          \\\textbf{Étape 1 :} $-9v  -7v + 5 = 7$ : \textbf{\textcolor{red}{exact}} en soustrayant $7v$ de chaque côté.
          \\\textbf{Étape 2 :} $-9v  -7v = 7 + 5$ \textbf{\textcolor{red}{faux}} : il faut soustraire 5 de chaque côté !\\
          D'où $-9v-7v=7-5$
          \\\textbf{Étape 3 :} $-16v = 7 - 5$
          \\\textbf{Étape 4 :} $v = \dfrac{7 - 5}{-16} $
          \\\textbf{Étape 5 :} $v = \dfrac{2}{-16}$ $=-\dfrac{1}{8}$
        
	\item           Rémi doit résoudre l'équation suivante : $-8v  -8 = 4v  -9 .$
          \\ Voilà ce qu'il écrit :
          \\\textbf{Étape 1 :} $-8v = 4v  -9 + 8$ \textbf{\textcolor{red}{exact}} en ajoutant 8 de chaque côté.
          \\\textbf{Étape 2 :} $-8v + 4v = -9 + 8$ \textbf{\textcolor{red}{faux}} car il faut soustraire $4v$ de chaque côté donc:\\
          $-12v - 4v=  -9 + 8$
          \\\textbf{Étape 3 :} $-12v = -9 + 8$
          \\\textbf{Étape 4 :} $v = \dfrac{-9 + 8}{-12} $
          \\\textbf{Étape 5 :} $v = \dfrac{-1}{-12}= \dfrac{1}{12}$
        
	\item           Dalila doit résoudre l'équation suivante : $4x  -4 = 3x + 4 .$
          \\ Voilà ce qu'elle écrit :
          \\\textbf{Étape 1 :} $4x = 3x + 4 + 4$ \textbf{\textcolor{red}{exact}} en ajoutant 4 de chaque côté
          \\\textbf{Étape 2 :} $4x  -3x = 4 + 4$ \textbf{\textcolor{red}{exact}} en soustrayant $3x$ de chaque côté
          \\\textbf{Étape 3 :} $1x = 4 + 4$ \textbf{\textcolor{red}{exact}} en calculant $4x-3x$
          \\\textbf{Étape 4 :} $x = 4 + 4 - 1 $ \textbf{\textcolor{red}{faux}} car $1x\neq 1+x$
          \\\textbf{Étape 5 :} $x =8$
        
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{}
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :\\
Rappel : le symbole $\Leftrightarrow $ se lit \og{}équivaut à \fg{}

\begin{enumerate}[1)]
\item $5x-2=4-2x\\
\Leftrightarrow 5x+2x-2=4\\
\Leftrightarrow 5x+2x=4+2\\
\Leftrightarrow 7x=6\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{6}{7}}}$

\bigskip

\item $4(x-6)=3(2x+3)\\
\Leftrightarrow 4x-24=6x+9\\
\Leftrightarrow 4x-6x=9+24\\
\Leftrightarrow -2x=33\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{33}{-2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{33}{2}}}$

\bigskip

\item $\dfrac{x}{6}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}x-1\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{6}-\dfrac{7}{12}x=-1-\dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{6}-\dfrac{7}{12}\right)x=-1-\dfrac{1}{4}\\
\Leftrightarrow \left(\dfrac{2}{12}-\dfrac{7}{12}\right)x=-\dfrac{4}4{-\dfrac{1}{4}}\\
\Leftrightarrow -\dfrac{5}{12}x=-\dfrac{5}{4}\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{-\frac54}{-\frac5{12}}\\
\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{4}\times \left(-\dfrac{12}{5}\right)\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{\cancel{5}\times 3\times \cancel{4}}{\cancel{4}\times \cancel{5}}=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\bigskip

\item $5-(4x-9)=-3x+8\\
\Leftrightarrow 5-4x+9=-3x+8\\
\Leftrightarrow 14-4x=-3x+8\\
\Leftrightarrow -4x+3x=8-14\\
\Leftrightarrow -x=-6\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=6}}$ (en divisant ou en multipliant chaque côté par -1)

\end{enumerate}


\newpage


\subsection{}%https://www.collegeleseyquems.fr/IMG/pdf/exercices_corriges.pdf
Thomas a obtenu 11~;~16~;~9~;~14~;~12 aux cinq premiers contrôles de mathématiques.

\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $x$ la note qu'il doit obtenir au sixième contrôle pour avoir 12 de moyenne.\\
On doit avoir :

\bigskip


$\dfrac{11+16++9+14+12+x}{6}=12$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résolution :}}
$\dfrac{11+16++9+14+12+x}{6}=12\\
\Leftrightarrow \dfrac{x+62}{6}=12\\
\Leftrightarrow x+62=6\times 12=72\\
\Leftrightarrow x=72-62=10$.\\
Il aura 12 de moyenne s'il a 10 à son sixième contrôle.

\end{enumerate}

%\subsection{}
%
%Elsa achète 24 assiettes plates, 12 assiettes creuses et 12 assiettes à dessert. \\
%Une assiette creuse coûte 2 \euro{}  de moins qu’une assiette plate. Une assiette à dessert coûte 5 \euro{}  de moins qu’une assiette plate. Elle dépense en tout 540 \euro{} . Quel est le prix de chaque sorte d’assiette ?


\subsection{}
On retranche un même nombre au numérateur et au dénominateur de la fraction $\dfrac{23}{38}$.\\
Quel est ce nombre sachant que l’on obtient l’inverse de la fraction initiale ?\\
Soit $x$ le nombre cherché.\\
Le problème ses traduit par :\\
$\dfrac{23-x}{38-x}=\dfrac{38}{23}\\
\Leftrightarrow 23(23-x)=38(38-x)\\
\Leftrightarrow 23^2-23x=38^2-38x\\
\Leftrightarrow -23x+38x=38^2-23^2\\
\Leftrightarrow 15x=1444-529=915\\
x=\dfrac{915}{15}=\boxed{\textcolor{red}{61}}$.

\subsection{}
Dans une salle de spectacle de $\numprint{2150}$ places, le prix d'entrée pour un adulte est $15,60$\,\euro{}~et, pour un enfant, il est de $9,30$\,\euro{}.\\
Le spectacle de ce soir s'est déroulé devant une salle pleine et la recette est de $\numprint{29678,10}$\,\euro{}.\\
Combien d'adultes y avait-il dans la salle ?\\
Notons $x$ le nombre d'adultes.\\
Le nombre d'enfants est alors $\numprint{2150}-x$.\\
La recette est donc : $15,6x+(\numprint{2150}-x)\times 9,3$.\\
On en déduit l'équation :\\
$15,6x+(\numprint{2150}-x)\times 9,3=\numprint{29678,10}\\
\Leftrightarrow 15,6x+\numprint{2150}\times 9,3-9,3x=\numprint{29678,10}\\
\Leftrightarrow 15,6x-9,3x=\numprint{29678,10}-19995\\
\Leftrightarrow 6,3x=9683,1\\
\Leftrightarrow x=\dfrac{9683,1}{6,3}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1537}}}$.\\
Il y avait \numprint{1537} adultes (et donc 613 enfants).

\subsection{}
Marina et Manon choisissent un même nombre.\\
Marina lui ajoute 6 puis multiplie le résultat par 14 alors que Manon lui ajoute 5 puis multiplie le résultat par 7.\\Marina et Manon obtiennent le même résultat.\\
%Quel nombre commun ont choisi Marina et Manon ?
Soit $x$ le nombre commun choisi par les deux filles.\\
On obtient :\\
$(x+6)\times 14=(x+5)\times 7\\
\Leftrightarrow 14x+84=7x+35\\
\Leftrightarrow 14x-7x=35-84\\
\Leftrightarrow 7x=-49\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=-7}}$.\\
Le nombre choisi par les deux filles est -7.

\subsection{}
Résoudre les équations :

\begin{enumerate}[1)]
\item $(3x-7)(x+5)=0$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des vecteurs est nul.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $3x-7=0\iff 3x=7\iff x=\dfrac{7}{3}$

\item Deuxième cas : $x+5=0\iff x=-5$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-5~;~\dfrac{7}{3}\right)}}$

\item $(2x+9)(3x-5)=0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Premier cas : $2x+9=0\iff 2x=-9\iff x=-\dfrac{-9}{2}$

\item $3x-5=0\iff 3x=5\iff x=\dfrac{5}{3}$
\end{enumerate}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{9}{2}~;~\dfrac{5}{3}\right)}}$
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}