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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  17 (fonctions carré et inverse)}}\end{center}


\subsection{}
Ci-dessous est représentée la fontion carré $f : x\mapsto x^2$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-2)(4,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-4,-2)(4,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.449}{2.449}{x^2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{4}{-3*x/5+1}
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)(-2,2.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item Tracer sur le mème graphique la droite $\mathscr{D}_g$ représentative de la fonction affine $g : x\mapsto -\dfrac{3}{5}x+1$.\\
Pour tracer cette droite, on calcule les coordonnées de deux points :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&-2\\
\hline
g(x)=-\dfrac{3}{5}x+1&1&\dfrac{11}{5}=1,2\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La droite représentative de $g$ passe par les points de coordonnées  (0~;~1) et (-2~;~1,32)

\item %En déduire les valeurs approchées des solutions de l'équation $x^2+\dfrac{3}{5}x-1$.
l'équation $x^2+\dfrac{3}{5}x-1$ équivaut à $f(x)=g(x)$.\\
Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de $\mathscr{C}_f$ et de $\mathscr{D}_g$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1,4~;~0,7\}}}$ (valeurs approchées)
\end{enumerate}

\subsection{}
Rappel : une fonction $f$ est impaire si, pour tout $x$ de son ensemble de définition, $f(-x)=-f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f : x\mapsto x+\dfrac{1}{x}$ la fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.\\
%$f$ est-elle impaire ?
Pour tout $x\neq 0$, $f(-x)=-x+\dfrac{1}{-x}=-x+\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-x-\dfrac{1}{x}=-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=-f(x)$ donc $f(-x)=-f(x)$ : $f$ est impaire.\\
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc symétrique par rapport à l'origine.

\item Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$.\\

\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(-1)$ et $g(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g(-1)=(-1)^2+/\dfrac{1}{-1}=1-1=0$

\item $g(1)=1^2+\dfrac{1}{1}=1+1=2$
\end{enumerate}

\item %$g$ est-elle impaire ? Est-elle paire ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $g(-1)\neq g(1)$ donc $g$ n'est pas paire.

\item $g(-1)±neq -g(1)$ donc $g$ n'est pas impaire
\end{enumerate}
$g$ n'est ni paire ni impaire.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
On va étudier les variations de la fonction inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\

Étudions les variations sur $]0~;~+\infty[$.\\
On prend deux nombres \textbf{quelconques} $a$ et $b$, avec $0<a<b$.\\
Il faut comparer leurs images $f(a)$ et $f(b)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(a)$ en fonction de $a$ et $f(b )$ en fonction de $b$.
$f(a)=\dfrac{1}{a}$ et $f(b)=\dfrac{1}{b}$.

\item %Calculer $f(b)-f(a)$ puis mettre le résultat au même dénominateur.
$f(b)-f(a)=\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{a-b}{ab}}}$

\item %Étudier le signe du numérateur puis du dénominateur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le dénominateur $ab$ est positif comme produit de deux nombres positifs.

\item $a-b<0$ car on a supposé $a<b$.
\end{enumerate}

\item %Quel est le signe de $f(b)-f(a)$ ?
$f(b)-f(a)$ est le quotient d'un nombre négatif par un nombre positif : ce nombre est donc négatif\\
$f(b)-f(a)<0$.

\item Compléter alors : $\boxed{\textcolor{red}{f(a)>f(b)}}$.

\item %Compléter par \og{}conserve\fg{} ou \og{}renverse\fg{}: \\
$f$ renverse l'ordre sur $]0~;~+\infty[$.\\
On en déduit que $f$ est décroissante sur $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}
Remarque : on montre de même que l'a fonction inverse est décroissante sur $]-)\infty~;~0[$.

\subsection{}
La fonction inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{2,14}$ et $\dfrac{1}{2,15}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 2,14 et 2,15 sont positifs.

\item Sur $]0~;~+\infty[$, $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.

\item 2,14<2,15
\end{enumerate}
Alors : $f(2,14)>f[2,15]$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2,14}>\dfrac{1}{2,15}}}$

\item Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{-3,14}$ et $\dfrac{1}{-\pi}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item -3,14 et $-\pi$ sont négatifs.

\item Sur $]-\infty~;~0[$, $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.

\item $-3,14>-\pi$
\end{enumerate}
Donc $f(-3,14<f(-\pi))$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{-3,14}<\dfrac{1}{-\pi}}}$
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{}
On considère la courbe représentative de la fonction inverse, qu'on appelle \textbf{hyperbole}.

\begin{center}
\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(5,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-5,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-7)(5,7)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{-5.0}{-0.05}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=2pt]{0.05}{5}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=blue,linewidth=2pt]{-5}{5}{2*x-3}
\uput[dl](-4,-0.25){$\mathscr{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-3)(3,3)
\end{pspicture*}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item On veut résoudre graphiquement l'équation \[\dfrac{1}{x}=2x-3.\]
%Tracer la courbe représentative de la fonction $g~:~ x\mapsto 2x-3$.
Pour représenter graphiquement la droite représentative de la fonction affine $g$, on calcule les coordonnées de deux points.
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&3\\
\hline
g(x)=2x-3&-3&3\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La droite passe par les points de coordonnées (0~;~-3) et (3~;~3)
%En déduire une valeur approché edes solutions de l'(équation $\dfrac{1}{x}=2x-3$
$\dfrac{1}{x}=2x-3\iff f(x)=g(x)$.\\
Les solutions de cette équation sont les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.\\
Il y a deux solutions. On trouve approximativement : \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-0,3~;~1,8\}}}$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  