\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 14 (Fonction carré)}}\end{center} \subsection{} Soit $f : x\mapsto x^2$ la fonction carré, donc $f(x)=x^2$.\\ Calculer : \begin{enumerate}[1)] \item $f(2)=2^2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$ \item $f(-5)=(-5)^2=:\boxed{\textcolor{red}{25}}$ \item $f\left(\sqrt{2}\right)$ \item $f(-1)=(-1)^2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ \item $f(0)=0^2=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ \item $f\left(-\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}^2=\boxed{\textcolor{red}{3}}$ \end{enumerate} \subsection{} $f$ est toujours la fonction carré. \begin{enumerate}[1)] \item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 49 ? Les antécédents de 49 sont les nombres $x$ tels que $x^2=49$ ; ce sont -7 et 7. \item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 3 ? Les antécédents de 3 sont $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$. \item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de -5 ? -5 n'a pas d'antécédent par la fonction carré car aucun nombre réel n'a un carré négatif. \item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 0 ? L'antécédent de 0 est 0. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Logique }} $f$ est la fonction carré.\\ Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. \begin{enumerate}[1)] \item Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; c'est le cas de toute fonction. \item Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; par exemple, -5. \item Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.\\ \textbf{\textcolor{red}{NON}} ; exemple : 49 a deux antécédents. \item Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; exemple : 49 (tous les nombres strictement positifs ont deux antécédents par la fonction carré). \item La fonction carrée n’est définie que sur $[0~;~+\infty[$.\\ \textbf{\textcolor{red}{NON}} ; elle est définie sur $\mathbb{R}$. \item Dans un repère quelconque, la courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; en effet, c'est une fonction paire. \item Le nombre 9 a exactement deux antécédents par la fonction carré.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; ce sont -3 et 3. \item Le maximum de la fonction carré est 0.\\ \textbf{\textcolor{red}{NON}} ; 0 est le minimum. \item Le maximum de la fonction carré sur [3; 4] est 9.\\ \textbf{\textcolor{red}{NON}} : c'est 16 \item Le maximum de la fonction carré sur [3; 4[ est 16.\\ \textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; \end{enumerate} \subsection{} %\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $f$, définie sur son ensemble de définition $\mathscr{D}$ est une fonction paire si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$. \begin{enumerate}[1)] \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4$. %Montrer que $f$ est paire. Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=(-x)^4=\left[(-1)\times x\right]^4=(-1)^4\times x^4=x^4=f(x)$ donc $f$ est paire.\\ $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'ordonnée. \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=.25,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-3,-1)(3,17) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,17) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,17) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{2}{x^4} \end{pspicture} \end{center} \item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}.$ \begin{enumerate} \item %Pour $x$ quelconque, calculer $f(-x)$. Pour tout $x\neq 0$, $f(-x)=(-x)^2+\dfrac{1}{(-x)^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}$ \item %Comparer $f(-x)$ et $f(x)$. Pour tout $x\neq 0$, $f(-x)=f(x)$. \item %$f$ est-elle paire ? Òn en déduit que $f$ est paire. \end{enumerate} \item Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x$. \begin{enumerate} \item %Calculer $f(-1)$ et $f(1)$. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $f(-1)=(-1)^2-(-1)=1+1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ \item $f(1)=1^2-1=1-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$ \end{enumerate} \item %$f$ est-elle paire ? $f$ est paire si, pour tout $x$, $f(-x)=f(x)$.\\ Or $f(-1)\neq f(1)$ donc $f$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas paire.}} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{} $f$ est la fonction carré. Compléter le tableau de variation ci-dessous ; \begin{enumerate}[1)] \item \phantom{} \begin{center} \begin{variations} x&\mI&&0&&\pI\\ \hline \m{f(x)}&&\d&0&\c&\\ \hline \end{variations} \end{center} \item %Sachant que $0<2,24<2,25$ et que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, comparer $2,24^2$ et $2,25^2$ sans les calculer. $2,24<2,25$ ; ce sont des nombres positifs. Sur $\left[0~;~+\infty\right[$, $f$ est croissante donc respecte l'ordre.\\ On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{2,24^2<2,25^2}}$ \item Comparer avec une méthode analogue \\ %$(-3,134)^2$ et $(-3,136)^2$. -3,134 et -3,136 sont négatifs ; $-3,134>-3,136$ et sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.\\ On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{(-3,134)^2<(-3,236)^2}}$ \item %Comparer $3^2$ et $\pi^2$ (en justifiant). 3 et $\pi$ sont positifs ; $3<\pi$ et la fonction $f$ est croissante sur $[0+\infty[$ donc conserve l'ordre.\\ Alors : $\boxed{\textcolor{red}{3^2<\pi^2}}$ \item On veut comparer $(-3,223)^2$ et $3,32^2$.\\ L'un des nombres est négatif et l'autre positif ; $f$ n'est pas monotone (change de sens de variaton) sur $\mathbb{R}$, donc on ne peut pas utiliser les méthodes vues ci-dessus.\\ \begin{enumerate}[a)] \item $f$ est paire donc $(-3,223)^2=f(-3,223)=f(3,223)$. \item %Comparer 3,223 et 3,32 puis $3,223^2$ et $3,32^2$. $3,223<3,32$ donc $\boxed{\textcolor{red}{3,223^2<3,32^2}}$ (fonction croissante sur $\left[0~;~+\infty\right[$) \item %Conclure. On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{(-3,223)^2<3,32^2}}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \label{fin} \end{document}