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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 14 (Fonction carré)}}\end{center}





\subsection{}
Soit $f : x\mapsto x^2$ la fonction carré, donc $f(x)=x^2$.\\
Calculer : 

\begin{enumerate}[1)]
\item $f(2)=2^2=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $f(-5)=(-5)^2=:\boxed{\textcolor{red}{25}}$

\item $f\left(\sqrt{2}\right)$

\item $f(-1)=(-1)^2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $f(0)=0^2=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item $f\left(-\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}^2=\boxed{\textcolor{red}{3}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est toujours la fonction carré.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 49 ?
Les antécédents de 49 sont les nombres $x$ tels que $x^2=49$ ; ce sont -7 et 7.

\item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 3 ?
Les antécédents de 3 sont $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.

\item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de -5  ?
-5 n'a pas d'antécédent par la fonction carré car aucun nombre réel n'a un carré négatif.

\item %Quels sont les antécédents, s'ils existent, de 0 ?
L'antécédent de 0 est 0.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Logique }}
$f$ est la fonction carré.\\
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse.
\begin{enumerate}[1)]
\item Tous les nombres réels ont exactement une image par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; c'est le cas de toute fonction.

\item Il existe un nombre réel qui n’a pas d’antécédent par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; par exemple, -5.

\item Tous les nombres réels ont, au plus, un antécédent par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{NON}} ; exemple : 49 a deux antécédents.

\item Il existe au moins un nombre réel qui a deux antécédents par $f$.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; exemple : 49 (tous les nombres strictement positifs ont deux antécédents par la fonction carré).

\item La fonction carrée n’est définie que sur $[0~;~+\infty[$.\\
\textbf{\textcolor{red}{NON}} ; elle est définie sur $\mathbb{R}$.

\item Dans un repère quelconque, la courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; en effet, c'est une fonction paire.

\item Le nombre 9 a exactement deux antécédents par la fonction carré.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; ce sont -3 et 3.

\item Le maximum de la fonction carré est 0.\\
\textbf{\textcolor{red}{NON}} ; 0 est le minimum.

\item Le maximum de la fonction carré sur [3; 4] est 9.\\
\textbf{\textcolor{red}{NON}} : c'est 16

\item Le maximum de la fonction carré sur [3; 4[ est 16.\\
\textbf{\textcolor{red}{OUI}} ; 

\end{enumerate}

\subsection{}
%\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $f$, définie sur son ensemble de définition $\mathscr{D}$ est une fonction paire si, pour tout $x$ de $\mathscr{D}$, $f(-x)=f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f$ la  fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}$ par $f(x)=x^4$. %Montrer que $f$ est paire.
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=(-x)^4=\left[(-1)\times x\right]^4=(-1)^4\times x^4=x^4=f(x)$ donc $f$ est paire.\\
$\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'ordonnée.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.25,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,17)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-1)(3,17)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,17)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{2}{x^4}
\end{pspicture}

\end{center}

\item Soit $f$ la  fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $f(x)=x^2+\dfrac{1}{x^2}.$

\begin{enumerate}
\item %Pour $x$ quelconque, calculer $f(-x)$.
Pour tout $x\neq 0$, $f(-x)=(-x)^2+\dfrac{1}{(-x)^2}=x^2+\dfrac{1}{x^2}$

\item %Comparer $f(-x)$ et $f(x)$.
Pour tout $x\neq 0$, $f(-x)=f(x)$.

\item %$f$ est-elle paire ?
Òn en déduit que $f$ est paire.
\end{enumerate}


\item Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2-x$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(-1)$ et $f(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-1)=(-1)^2-(-1)=1+1=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $f(1)=1^2-1=1-1=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}

\item %$f$ est-elle paire ?
$f$ est paire si, pour tout $x$, $f(-x)=f(x)$.\\
Or $f(-1)\neq f(1)$ donc $f$ n'est \textbf{\textcolor{red}{pas paire.}}
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsection{}
$f$ est la fonction carré. Compléter le tableau de variation ci-dessous ;
\begin{enumerate}[1)]
\item \phantom{}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Sachant que $0<2,24<2,25$ et que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$, comparer $2,24^2$ et $2,25^2$ sans les calculer.
$2,24<2,25$ ; ce sont des nombres positifs. Sur $\left[0~;~+\infty\right[$, $f$ est croissante donc respecte l'ordre.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{2,24^2<2,25^2}}$

\item Comparer avec une méthode analogue \\
%$(-3,134)^2$ et $(-3,136)^2$.
-3,134 et -3,136 sont négatifs ; $-3,134>-3,136$ et sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{(-3,134)^2<(-3,236)^2}}$

\item %Comparer $3^2$ et $\pi^2$ (en justifiant).
3 et $\pi$ sont positifs ; $3<\pi$ et la fonction $f$ est croissante sur $[0+\infty[$ donc conserve l'ordre.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{3^2<\pi^2}}$ 

\item On veut comparer $(-3,223)^2$ et $3,32^2$.\\
L'un des nombres est négatif et l'autre positif ; $f$ n'est pas monotone (change de sens de variaton) sur $\mathbb{R}$, donc on ne peut pas utiliser les méthodes vues ci-dessus.\\

\begin{enumerate}[a)]
\item $f$ est paire donc $(-3,223)^2=f(-3,223)=f(3,223)$.

\item %Comparer 3,223 et 3,32 puis $3,223^2$ et $3,32^2$.
$3,223<3,32$ donc $\boxed{\textcolor{red}{3,223^2<3,32^2}}$ (fonction croissante sur $\left[0~;~+\infty\right[$)

\item %Conclure.
On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{(-3,223)^2<3,32^2}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  