\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  11}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Soient $f : x\mapsto 5x-9$ et $g : x\mapsto -7x+9$ deux fonctions affines.
%Donner le tableau de variation de chacun de ces deux fonctions.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Le coefficient directeur de la fonction $f$ est égal à 5 qui est positif donc la fonction est croissante.\\
$f(x)=0$ si, et seulement si, $5x-9=0$ donc pour $x=\dfrac{9}{5}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation : }}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{9}{5}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes : }}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{9}{5}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item  Le coefficient directeur de la fonction $g$ est égal à -7 qui est négatif donc la fonction est décroissante.\\
$g(x)=0$ si, et seulement si, $-7x+9=0$ donc pour $x=\dfrac{-9}{-7}=\dfrac{9}{7}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation : }}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{9}{7}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\dh&\m{0}&\db&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes : }}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{9}{75}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
 

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto \dfrac{7}{3}x+\dfrac{1}{3}$ une fonction affine.\\
On remarque que $f(x)=\dfrac{7x+1}{3}$
%Représenter graphiquement cette fonction.
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; pour tracer cette droite, il faut connaître les coordonnées de deux points.\\
Calculons les coordonnées de deux de la droite :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
\\
x&-1&2\\
\hline
f(x)=\dfrac{7x+1}{3}&-2&5\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La droite passe par les points de coordonnées $(-1~;~-2)$ et $(2~;~5)$
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-3)(3,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.3}{2.3}{(7*x+1)/3}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,-2)(2,5)
\end{pspicture}

\end{center}

\end{multicols}


\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A(x)=$]

\item \Distri{3}{1}{4}{2}-\Distri{0}{5}{3}{-2}\\
$=\left[3x\times 4x+2\times 3x+1\times 4x+1\times 2\right]-\left[5\times 3x-5\times 2\right]\\
=\left[12x^2+6x+4x+2\right]-\left[15x-10\right]\\
=12x^2+10x+2-15x+10\\
=\boxed{\textcolor{red}{12x^2-5x+12}}$


\bigskip

\item \Distri{4}{-3}{2}{9}-\Distri{3}{-5}{6}{7}\\
$=\left[4x\times 2x+4x\times -3\times 2x-3\times 9\right]-\left[3x\times 6x+3x\times 7-5\times 6x-5\times 7\right]\\
=\left[8x^2+36x-6x-27\right]-\left[18x^2+21x-30x-35\right]\\
=\left[8x^2+30x-27\-\right]-\left[18x^2-9x-35\right]\\
=8x^2+30x-27-18x^2+9x+35\\
=\boxed{\textcolor{red}{-10x^2+39x+8}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Compléter \dots par des nombres entiers :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[1)]

\bigskip

\item $ (5x+6)(2x+3) = 10  x^2 +27 x+18$

\bigskip

\item $ (4x+3)(x+5) =4 x^2 +23 x+15 $

\bigskip

\item $(2x -6)(3x+4) = 6 x^2- 10 x-24$

\bigskip

\item $3x(-4 x+2)+5 x = 12x^2 +11x$


\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Développer, en utilisant les identités remarquables :

\begin{enumerate}[$A(x)=$]
\item \Distri[Remarquable]{2}{3}{}{}\\
=\Distri[Remarquable,Etape=2]{2}{3}{}{}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[Remarquable,Etape=3]{2}{3}{}{}}}

\bigskip

\item \Distri[Remarquable]{3}{-5}{}{}\\
=\Distri[Remarquable,Etape=2]{3}{-5}{}{}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[Remarquable,Etape=3]{3}{-5}{}{}}}


\bigskip

\item \Distri[Remarquable]{7}{3}{7}{-3}\\
$=(7x)^2-3^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{49x^2-9}}$

\bigskip

\item $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\\
=\sqrt{3}^2-\sqrt{2}^2=3-2=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item \Distri[Remarquable]{1}{-7}{}{}+\Distri[Remarquable]{3}{2}{}{}\\
$=\left[\Distri[Remarquable,Etape=2]{1}{-7}{}{}\right]+\left[\Distri[Remarquable,Etape=2]{3}{2}{}{}\right]\\
=\left[\Distri[Remarquable,Etape=3]{1}{-7}{}{}\right]+\left[\Distri[Remarquable,Etape=3]{3}{2}{}{}\right]
=x^2-14x+49+9x^2+12x+4\\
=\boxed{\textcolor{red}{10x^2-2x+53}}$

\item \Distri[Remarquable]{5}{4}{}{}-\Distri[Remarquable]{-2}{-1}{}{}\\
$=\left[(5x)^2+2\times 5x\times 4+4^2\right]-\left[(-2x)^2_32\times (-2x)\times 1+1^2\right]\\
=\left[25x^2+40x+16\right]-\left[4x^2+4x+1\right]\\
=25x^2+40x+16-4x^2-4x-1\\=
=\boxed{\textcolor{red}{21x^2+36x+15}}$

\item $\left(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{2}\right)^2\\
=\left(\dfrac{1}{3}x\right)^2_2\times \dfrac{1}{3}x\times \dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{9}x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{4}}}$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}