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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur milieu et la longueur d'un segment}}\end{center}

\subsection{}
Dans un repère (O~;~I~;~J), on considère les points A ( 3~;~1 )  B( 5~;~,5 )  C(-2~;~4)  D(-4~;~0)  E(10~;~2)  F(1~;~-3).

\begin{enumerate}

\item Faire une figure.

\item  %Calculer les coordonnées du point $M$, milieu de $[DE]$.\\
%Que peut-on en déduire ?
$M\left(\dfrac{x_D+x_E}{2}~;~\dfrac{y_D+y_E}{2}\right)$ donc $M\left(\dfrac{-4+10}{2}~;~\dfrac{0+2}{2}\right)$ ; $\boxed{\textcolor{red}{M(3~;~1)}}$.\\
$M$ et $A$ ont les mêmes coordonnées donc $\boxed{\textcolor{red}{M=A}}$.

\item %Calculer les coordonnées de $N$, milieu de $[BF]$.
%Que peut-on en déduire ?
$N\left(\dfrac{x_B+x_F}{2}~;~\dfrac{y_B+y_F}{2}\right)$ donc $N\left(\dfrac{5+1}{2}~;~\dfrac{5+(-3)}{2}\right)$ ; $\boxed{\textcolor{red}{N(3~;~1)}}$.\\
$N = A$. A est le milieu de $[DE]$.

\item %Que peut-on dire du quadrilatère $EBDF$ ?
Les diagonales de $EBDF$ se coupent en leur milieu $A$, donc $EBDF$ est un parallélogramme.

\item  %Calculer les coordonnées du point $R$, milieu de $[BD]$ ; que peut-on en déduire ?
$\boxed{\textcolor{red}{R\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item %Calculer les coordonnées de $S$, milieu de $[AC]$ ; que peut-on en déduire ?
$\boxed{\textcolor{red}{S\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item  %Tracer le cercle de diamètre [AE]. Soit K son centre.\\
%Calculer les coordonnées du point K.
$K$ est le milieu de $[AE]$ : $K\left(\dfrac{13}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)$

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-4)(11,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-4)(11,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-4)(11,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](3,1)(5,5)(-2,4)(-4,0)(10,2)(1,-3)(6.5,1.5)
\uput[u](3,1){A}
\uput[u](5,5){B}
\uput[u](-2,4){C}
\uput[ul](-4,0){D}
\uput[u](10,2){E}
\uput[u](1,-3){F}
\uput[u](6.5,1.5){K}
\pspolygon[linewidth=2pt](3,1)(5,5)(-2,4)(-4,0)
\pspolygon[linewidth=2pt](10,2)(5,5)(-4,0)(1,-3)
\pscircle[linewidth=1.5pt](6.5,1.5){3.536}
\psline[linewidth=2pt](3,1)(10,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Soient les points $A(0~;~2)$ et $M(2~;~5)$.\\
%Calculer les coordonnées de $B$ tel que $B$ soit le milieu de $[AB]$.
On doit avoir $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}$ donc $2x_Mx_A+x_B$.\\`
On en déduit $x_B=2x_M-x_A=2\times 2-0=4$.\\
De même : $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}$ donc $2y_My_A+y_B$.\\`
On en déduit $y_B=2y_M-y_A=2\times 5-2=8$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{B(4~;~9)}}$

\subsection{}
On considère les points A(3~;~1), B(-4~;~2) et C(-1~;~4). 

\begin{enumerate}
\item Déterminons les coordonnées du point D, symétrique de C par rapport à B.\\
$B$ doit être le milieu de $[CD]$ donc :\\
$\begin{cases}x_B=\dfrac{x_C+x_D}{2}\\y_B=\dfrac{y_C+y_D}{2}\end{cases}$ donc $\begin{cases}-4=\dfrac{-1+x_D}{2}\\2=\dfrac{4+y_D}{2}\end{cases}$ qui donne $\begin{cases}-8=-1+x_D\\4=4+y_D\end{cases}$ d'où $\begin{cases}x_D=-7\\y_D=0\end{cases}$.\\
$D$ a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{D(-7~;~0)}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On note E le point du plan tel que les segments [AC] et [BE] aient le même milieu.\\
%Déterminer les coordonnées du point E. 
Notons $K$ le milieu de $[AC]$ : \\
$\begin{cases}x_K=\dfrac{x_A+x_C}{2}\\y_K=\dfrac{y_A+y_C}{2}\end{cases}$ d'où $\begin{cases}x_K=\dfrac{3+(-1)}{2}\\y_K=\dfrac{1+4}{2}\end{cases}$ donc : $\boxed{\textcolor{red}{K\left(1~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.\\
$K$ doit être le milieu de $[BE]$ donc : \\
$\begin{cases}1=\dfrac{-4+x_E}{2}\\\dfrac{5}{2}=\dfrac{2+y_E}{2}\end{cases}$ qui donne : $\begin{cases}x_E=6\\y_E=3\end{cases}$.\\
$E$ a pour coordonnées $E(6~;~3)$

\item %Que peut-on dire du quadrilatère $AECB$ ?
Les diagonales $[AC]$ et $[BE]$ ont le même milieu donc $AECB$ est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-8,-1)(7,5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3,1)(-4,2)(-1,4)(-7,0)(1,2.5)(6,3)
\uput[d](3,1){$A$}
\uput[u](-4,2){$B$}
\uput[u](-1,4){$C$}
\uput[u](-7,0){$D$}
\uput[u](6,3){$E$}
\psline(-1,4)(-7,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=red!30](3,1)(6,3)(-1,4)(-4,2)
\psline(3,1)(-1,4)
\uput[u](1,2.5){$K$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2.5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-8,-1)(7,5)

\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-8,-1)(7,5)
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
On considère les points $R(1~;~5)$, $S(-1~;~7)$ et $T(1~;~9)$ .

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées de $U$ tel que RSTU soit un parallélogramme.
Soit $K$ le milieu de la diagonale $[RT]$ : $K\left(\dfrac{x_R+x_T}{2}~;~\dfrac{y_R+y_T}{2}\right)$ donc $K\left(1~;~7\right)$.\\
Pour que $RSTU$ soit un parallélogramme, $K$ doit être le milieu de $[SU]$ donc : \\
$\begin{cases}1=\dfrac{-1+x_U}{2}\\7=\dfrac{7+y_U}{2}\end{cases}$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{U(3~;~7)}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs $RS$ et $TU$.
$RS=\sqrt{\left(x_S-x_R\right)^2+\left(y_S-y_R\right)^2}=\sqrt{(-1-1)^2+(7-5)^2}=\sqrt{(-2)^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.\\
$ST=\sqrt{\left(x_T-x_S\right)^2+\left(y_T-y_S\right)^2}=\sqrt{(1-(-1 ))^2+(9-7)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

\item %Que peut-on en déduire sur le quadrilatère $RSTU$.
$RSTU$ est une parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un \textbf{\textcolor{red}{losange}}.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la longueur $RU$.
$\boxed{\textcolor{red}{RT=4}}$ (se lit sur la figure), car $R$ et $T$ ont la même abscisse.

\item %Que peut-on dire du triangle $RST$ ?
$RT^2=4^2=16$ et $RS^2+ST^2=8+8=16$.\\
$RT^2=RS^2+ST^2$. D'après la \textbf{\textcolor{red}{réciproque du théorème de Pythagore}}, $RST$ est rectangle en $S$.\\
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature du quadrilatère $RSTU$ ?
$RSTU$ est un posant avec un angle droit : c'est un \textbf{\textcolor{red}{carré}}.

\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{red}{Figure}} :
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-1)(4,10)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,5)(-1,7)(1,9)(1,7)(3,7)
\uput[d](1,5){R}
\uput[u](-1,7){S}
\uput[u](1,9){T}
\uput[u](1,7){K}
\uput[u](3,7){U}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!30](1,5)(-1,7)(1,9)(3,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-1)(4,10)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-1)(4,10)
\end{pspicture}

\end{center}
\subsection{}
On considère les points A(6~;~5), B(2~;~-3) et C(-4~;~0). 

\begin{enumerate}
\item %Calculer les distances AB, BC et AC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(2-6)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}}}$

\item $BC=\sqrt{(-4-2)^2+(0-(3))^2}=\sqrt{(-6)^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=\sqrt{45}=3\sqrt{5}}}$.

\item $AC=\sqrt{(-4-6)^2+(0-5)^2}=\sqrt{(-10)^2+(-5)^2}=\sqrt{100+25}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AC=\sqrt{125}=5\sqrt{5}}}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire la nature du triangle ABC.
$AC^2=125$ ; $AB^2+BC^2=80+45=125$.\\
Donc : $AC^2=AB^2+BC^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$.

\item %Calculer le périmètre et l'aire de ce triangle. 
Le périmètre est $\mathscr{P}=AB+BC+AC=4\sqrt{5}+3\sqrt{5}5\sqrt{5}=12\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{P}=12\sqrt{5}}}$.\\
$ABC$ est rectangle en $B$ donc l'aire du triangle $ABC$ est : \\
$\mathscr{A}=\dfrac{AB\times BC}{2}=\dfrac{4\sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{2}=\dfrac{12\sqrt{5}^2}{2}=6\times 5=30$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{A}=30}}$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  