\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la feuille d'AP \no 9 (fonctions affines, développements)}}\end{center}


\subsection{}
Représenter dans un même repère du plan les fonctions suivantes :

%\begin{enumerate}
%\item $f(x)=2x+1$
%
%\item $g(x)=2x+3$
%
%\item $h(x)=\dfrac{2}{3}x+4$
%
%\item $k(x)=-\dfrac{3}{2}x+4$
%\end{enumerate}
La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ; pour tracer une droite, il faut calculer les coordonnées de deux points.\\
Pour chacune des droites, on renseigne un tableau de valeurs :


\begin{multicols}{4}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&2\\
\hline
f(x)=2x+1&1&5\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&2\\
\hline
g(x)=2x+3&3&7\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&3\\
\hline
h(x)=\dfrac{2}{3}x+4&4&6\\
\hline
\end{array}$

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&2\\
\hline
k(x)=-\dfrac{3}{2}x+4&4&1\\
\hline
\end{array}$

\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-2)(5,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.5}{3}{2*x+1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-1.5}{2}{2*x+3}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=green]{-2}{4}{2*x/3+4}
\psplot[linewidth=2pt]{-2}{4}{-3*x/2+4}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)(2,5)(0,3)(2,7)(0,4)(3,6)(2,1)
\uput[r](0,1){$d_f$}
\uput[l](-1,1){$d_g$}
\uput[d](3,6){$d_h$}
\uput[r](2,1){$d_k$}
\end{pspicture}
\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{Extrait BEP Bâtiment}}
Monsieur Sancaisse désire louer une voiture pour le week-end. Pour cela, il se rend dans deux agence de location :

\begin{itemize}
\item  l’agence A lui propose un forfait de 183 \euro{}  plus 0,30 \euro{}  du kilomètre parcouru.

\item l’agence B lui propose un forfait de 20,50 \euro{}  plus 0,60 \euro{}  du kilomètre parcouru.

\end{itemize}

On désigne par $x$ le nombre de kilomètres parcourus.\\
On appelle $P_A (x)$ le prix à payer à l’agence A et $P_B (x)$ le prix à payer à l’agence B.

\begin{enumerate}
\item %Donner les expressions de chaque prix en fonction du nombre de kilomètres parcourus $x$.
$\boxed{\textcolor{red}{P_A(x)=0,3x+183}}$

\bigskip

$\boxed{\textcolor{red}{P_B(x)=0,6x+20,5}}$



\item %Compléter le tableau suivant :
On obtient :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&100&600\\
\hline
P_a (x)&213&363\\
\hline
P_b (x)&80,5&380,5\\
\hline
\end{array}
$

\end{center}

\newpage


\item %Tracer dans un repère  les droites représentant chacun des deux cas.\\
%On appellera $D_a$ la droite correspondant à l’agence A et $D_b$ celle correspondant à l’agence B.\\
On trace les droites correspondantes :
\begin{center}
\psset{unit=.018,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-50,-50)(700,500)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(700,500)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{700}{.3*x+183}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{700}{.6*x+20.5}
\multido{\n=0+10}{71}{\psline[linewidth=.6pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+10}{51}{\psline[linewidth=.6pt](0,\n)(700,\n)}
\multido{\n=0+50}{15}{\psline[linewidth=1.5pt](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linewidth=1.5pt](0,\n)(700,\n)}
\uput[u](50,200){$D_A$}
\uput[u](300,200){$D_B$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](100,213)(600,363)(100,80,5)(600,380,5)
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Monsieur Sancaisse décide d’aller à Euro Disneyland ( 700 km pour l’aller-retour ). Quelle agence a-t-il intérêt à choisir. Justifier la réponse à l’aide du graphique.
On trace la droite parallèle à l'axe des ordonnées correspondant à $x=700$ ; on voit que le tarif le plus avantageux est le \textbf{\textcolor{red}{tarif A}}.

\item %Vérifier par un calcul.
$P_A(700)=0,3\times 700+183=393$\\
$P_B(700)=0,6\times 700+20,5=440,5$\\
On a bien $\boxed{\textcolor{red}{P_A(700)<P_B(700)}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Calculer, de tête (en utilisant une identité remarquable :)

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $41^2=(40+1)^2=40^2+2\times 40\times 1+1^2=\numprint{1600}+80+1=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1681}}}$

\item $79^2=(80-1)^2=80^2-2\times 80\times 1+1^2=\numprint{6400}-160+1=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{6241}}}$

\item $99\times 101=(100-1)(100+1)=100^2-1)¨2=\numprint{10000}-1=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{9999}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Développer les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[A(x)=]
\item \Distri{7}{2}{-5}{3}\\
%=\Distri[RAZ,Etape=1]{7}{2}{-5}{3}\\
=\Distri[RAZ,Etape=2]{7}{2}{-5}{3}\\
=\Distri[RAZ,Etape=3]{7}{2}{-5}{3}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[RAZ,Etape=4]{7}{2}{-5}{3}}}

\item \Distri{-4}{3}{2}{-7}\\
=\Distri[RAZ,Etape=2]{-4}{3}{2}{-7}\\
=\Distri[RAZ,Etape=3]{-4}{3}{2}{-7}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[RAZ,Etape=4]{-4}{3}{2}{-7}}}

\item \Distri[Remarquable]{7}{2}{}{}\\
=\Distri[Remarquable,Etape=2]{7}{2}{}{}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[Remarquable,Etape=3]{7}{2}{}{}}}


\item \Distri[Remarquable]{9}{-5}{}{}
=\Distri[Remarquable,Etape=2]{9}{-5}{}{}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\Distri[Remarquable,Etape=3]{9}{-5}{}{}}}

\item $(3x-2y)(3x+2y)\\
=(3x)^2-(2y)^2\\
=\boxed{\textcolor{red}{9x^2-4y^2}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l’expression : $E = (x- 3)^2- (x- 1)(x- 2)$

\begin{enumerate}[1)]
\item %Développer et réduire $E$.
$E=\left[x^2-2\times 3x\times 3+3^2\right]-\left[x\times x-2x-x+2\right]\\
=\left[x^2+6x+9\right]-\left[x^2-3x+2\right]\\
=x^2+6x+9-x^2+3x-2=\boxed{\textcolor{red}{-3x+7}}$

\item %Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de : $\numprint{99997}^2 - \numprint{99999} \times  \numprint{99998}$.
$\numprint{99997}^2 - \numprint{99999} \times  \numprint{99998}=(\numprint{100000}-3)^2-(\numprint{100000}-1)(\numprint{100000}-2)= (x- 3)^2- (x- 1)(x- 2)$ \\
en posant $x=\numprint{100000}$.\\
Le résultat est donc $-3\times \numprint{100000}+7=-\numprint{300000}+7=\boxed{\textcolor{red}{-\numprint{2999993}}}$
\end{enumerate}













\label{fin}
\end{document}  