\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}



\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ 2\up{nde} : correction de l'AP sur les fonctions affines (séance du 27/11 décembre)}}\end{center}



\subsection{}
%On considère trois droites, représentées ci-dessous dans un repère $(O~;~I~;~J)$.\\
%Les points marqués d'une croix ont des coordonnées entières.\\
%Lire leurs coefficients directeurs.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-3)(8,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-6,-3)(8,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-3)(8,6)
\pstGeonode(-3,3){A}(1,4){B}
\pstLineAB[nodesepB=-7,nodesepA=-3,linewidth=2pt,linecolor=blue]{A}{B}
\pstGeonode(-5,5){C}(1,-1){D}
\pstLineAB[nodesepA=-1,nodesepB=-3,linewidth=2pt,linecolor=red]{C}{D}	
\pstGeonode(-5,-2){E}(6,5){F}
\pstLineAB[nodesepB=-2,nodesepA=-1,linewidth=2pt]{E}{F}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,4)(-5,5)(1,-1)(-5,-2)(6,5)
\psdots(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){0}\uput[ur](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Coefficient directeur de la droite $(AB)$ : $m_1=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-3}{1-(-3)}=\dfrac{1}{4}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{m_1=\dfrac{1}{4}}}$

\item Coefficient directeur de la droite $(CD)$ : $m_2=\dfrac{y_D-y_C}{x_D-x_C}=\dfrac{-1-5}{1-(-5)}=\dfrac{-6}{6}=-1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{m_2=-1}}$

\item Coefficient directeur de la droite $(EF)$ : $m_3=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\dfrac{5-(-2)}{6-(-5)}=\dfrac{7}{11}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{m_3=\dfrac{7}{11}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère trois droites, représentés ci-dessous.\\
Déterminer les fonctions affines associées.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Indication}} : commencer par trouver les coefficients directeurs.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-7,-6)(7,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-7,-6)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-7,-6)(7,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-7}{7}{x/2+1.5}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-7}{2}{-x-3}
\psplot[linewidth=2pt]{-1}{4}{2*x-3}
\uput[u](-6,3){$d_1$}
\uput[u](5,4){$d_2$}
\uput[r](2,1){$d_3$}
\psdots(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[dl](0,0){0}\uput[ur](1,0){I}\uput[r](0,1){J}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1$ passe par les points de coordonnées $(-6~;~3)$ et $(-3~;~0)$.\\
Son coefficient directeur est $m_1=\dfrac{0-3}{-3-(-6)}=\dfrac{-3}{3}=-1$.\\
La fonction affine associée à $d_1$ est $f_1(x)=-x+p_1$.\\
L'ordonnée à l'origine est $p_1=-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f_1(x)=-x-3}}$

\item $d_2$ passe par les points de coordonnées $(-3~;~0)$ et $(3~;~3)$.\\
Son coefficient directeur est $m_2=\dfrac{3-0}{3-(-3)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.\\
La fonction affine associée à $d_2$ est $f_2(x)=\dfrac{1}{2}x+p_2$.\\
$d_2$ passe par le points de coordonnées $(-3~;~0)$ donc $f_2(-3)=0$.\\
Donc $\dfrac{1}{2}\times (-3)+p_2=0$ d'où $-\dfrac{3}{2}+p_2=0$ : $p_2=\dfrac{3}{2}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{f_2(x)=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}}}$

\item $d_3$ passe par les points de coordonnées $(0~;~-3)$ et $(3~;~3)$.\\
Son coefficient directeur est $m_3=\dfrac{3-(-3)}{3-0}=\dfrac{6}{3}=2$.\\
La fonction affine associée à $d_3$ est $f_3(x)=2x+p_3$.\\
L'ordonnée à l'origine est $p_3=-3$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f_3(x)=2x-3}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les fonctions affines $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\dfrac{-3x+4}{7}\text{ et }g(x)=\dfrac{7x-2}{4}.\]

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Tracer les courbes représentatives $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.
Pour tracer les courbes représentatives de ces deux fonctions, on cherche les coordonnées de deux points pour chacune d'entre elles.\\
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&-1&6\\
\hline
f(x)=\dfrac{-3x+4}{7}&1&-2\\
\hline
\end{array}$\\

$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&-2&2\\
\hline
g(x)=\dfrac{7x-2}{4}&-4&3\\
\hline
\end{array}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{C}_f$ est la droite qui passe par les points de coordonnées $(-1~;~1)$ et $(6~;~-2)$.

\item $\mathscr{C}_g$ est la droite qui passe par les points de coordonnées $(-1~;~1)$ et $(6~;~-2)$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-5)(7,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-5)(7,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-4,-5)(7,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{7}{(-3*x+4)/7}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{(7*x-2)/4}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-1,1)(6,-2)(-2,-4)(2,3)(1.333,0)(0.29,0)
\uput[d](4,-1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[dr](-1,-2){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Donner les tableaux de variation de $f$ et $g$.
Le coefficient directeur de $f$ est $-\dfrac{3}{7}<0$ donc $f$ est décroissante.\\
Le coefficient directeur de $g$ est $-\dfrac{7}{4}<0$ donc $g$ est croissante.
\end{enumerate}

\item %Résoudre $f(x)=0$ et $g(x)=0$ et faire apparaître les résultats sur le graphique.
$f(x)=0$ s'écrit $\dfrac{-3x+4}{7}=0$ donc $-3x+4=0$ d'où $-3x=4$ qui donne $x=\dfrac{4}{3}$\\
$f(x)=0$ s'écrit $\dfrac{7x-2}{4}=0$ donc $7x-2=0$ d'où $7x=2$ qui donne $x=\dfrac{2}{7}$

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection des de ux courbes : on trouve $x\approx 0,5$.\\
Pour tourner la valeur exacte, il faut résoudre l'équation $f(x)=g(x)$.\\
$f(x)=g(x)$ s'écrit : $\dfrac{-3x+4}{7}=\dfrac{7x-2}{4}$ donc, en calculant les produits en croix :\\
$4(-3x+4)=7(7x-2)$ d'où $-12x+16=49x-14$.\\
Alors : $-61x=-30$ qui donne $x=\dfrac{30}{61}$


\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Antilles-Guyane 2006}}
Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  Abonnement A : abonnement 19 euros, puis 0,30 euro la minute de communication
\item[$\bullet$]  Abonnement B : abonnement 29 euros, puis 0,20 euro la minute de communication.
 \end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Recopier puis compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{l|*{3}{c|}c}\hline
Durée  (en minutes)&30&45&60&90\\ \hline
Abonnement A en euro&28 & 32,5&37 &46 \\ \hline
Abonnement B en euro&25 &28 &31 &37 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
\item  Soit $x$ le nombre de minutes et $y$ le prix de la communication à payer en fonction du temps.

On note $y_{\text{A}}$ le prix pour l'abonnement A et $y_{\text{B}}$ le prix pour l'abonnement B.
 
Exprimer %$y_{\text{A}}$ et $y_{\text{B}}$ en fonction de $x$.
$\boxed{\textcolor{red}{y_A=0,30x+19}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{y_B=0,2x+29}}$.

\item  %Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de $151$ euros pour l'abonnement A.
On résout $0,3x+19=151$ ; on trouve $0,3x=132$ donc $x=\dfrac{132}{0,3}=\dfrac{1320}{3}=\boxed{\textcolor{red}{430}}$.
\item  (Sur papier quadrillé)

Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions
affines définies par :
\[f(x) = 	0,3x+19\quad  \text{et}\quad  g(x) = 0,2 x + 29.\]
%On choisira pour unités :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet$]  en abscisse, 1 cm pour 10 minutes
%\item[$\bullet$] en ordonnée, 1 cm pour 5 euros.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\psset{xunit=.08,yunit=.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,-10)(200, 80)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=10,Dy=5]{->}(0,0)(-10,0)(200,80)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{0}{200}{.3*x+19}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{200}{.2*x+29}
\multido{\n=0+10}{21}{\psline(\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+5}{21}{\psline(0,\n)(200,\n)}
\uput[d](70,40){$y_A$}
\uput[d](30,35){$y_B$}
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed](0,70)(170,70)
\psline[linewidth=2pt,linestyle=dashed](170,70)(170,0)
\end{pspicture}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre l'équation $19 + 0,3x =  29 + 0,2x$.
$19 + 0,3x =  29 + 0,2x$ équivaut à $0,3x-0,2x=29-19$ donc $0,1x=10$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=100}}$.

% En déduire le nombre de minutes pour lequel les deux tarifs sont égaux.
Les deux tarifs sont égaux pour une durée de 100 minutes.

		\item %Quel est le tarif le plus avantageux si l'on consomme moins d'une heure de communication par mois ?
Si l'on consomme moins d'une heure de communication par mois (60 min), le tarif le plus avantageux est le tarif A.\\

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement le nombre de minutes dont on disposera pour un montant de $70$~euros, si l'on a choisi l'abonnement A. 
		Graphiquement, e nombre de minutes dont on disposera pour un montant de $70$~euros, si l'on a choisi l'abonnement A est 70
		
\item %Retrouver ce résultat par le calcul.
On résout : 19+0,3x+19=70 donne $0,3x=51$ donc $x=\dfrac{51}{0,3}=\dfrac{510}{3}=\boxed{\textcolor{red}{70}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}







\label{fin}
\end{document}