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\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de AP \no 6 }}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2 ; 4)  , B(1 ; 5) et C(0;-2).
\begin{enumerate}
\item %Placer les points dans ce repère.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,6)
\pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,PointSymbol=x,dotscale=2,PosAngle={90,0,0}](-2,4){A}(1,5){B}(0,-2){C}
\pstRightAngle{B}{A}{C}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(4,6)
\end{pspicture}

\end{center}

\item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ puis $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1)-2=2\\5-4=1\end{pmatrix}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}x_C-x_B\\y_C-y_B\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-1\\-7\end{pmatrix}}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
On utilise les coordonnées des vecteurs précédents :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$

\item $BC=\sqrt{(-1)^2+(-7)^2}=+\sqrt{1+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$

\item $AC=\sqrt{(-2^2+(-6)^2}=\sqrt{4+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{40}}}$
\end{enumerate}

\item %Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
Le plus grand côté est $BC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $BC^2=\sqrt{50}^2=50$

\item $AB^2+AC^2=\sqrt{10}^2+\sqrt{40}^2=10P+40=50$

\item On constate que $BC^2=AB^2+AC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle, ABC et rectangle en A.
\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2~;~1) , B(-1 ; -2), C(5~;~0) et D(4~;~3).

\begin{enumerate}
\item %Montrer que ABCD est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-(-2)=1\\-2-1=-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-4=1\\0-3=-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont les mêmes coordonnées donc \\
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ : $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\item %Montrer que ABCD est même un rectangle.
Pour montrer que ABCD est même un rectangle, il suffit de montrer que $ABCD$ possède un angle droit.\\
Montrons par exemple que $ABC$ est rectangle en $B$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}$ donc $AB=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{40}}}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}7\\-1\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{(-1)^2+7^2}=\sqrt{1+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{50}}}$
\end{enumerate}
Alors :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC^2=\sqrt{50}^2=50$

\item $AB^2+BC^2=10+40=50$

\item On constate que $AC^2=AB^2+BC^2$.\\
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme possédant un angle droit, donc c'est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,4)
\pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30,PointSymbol=x,dotscale=2,PosAngle={90,-90,0,0}](-2,1){A}(-1,-2){B}(5,0){C}(4,3){D}
\pstRightAngle[linewidth=2pt]{C}{B}{A}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(5,4)
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
\noindent Le plan est rapporté au repère orthonormé (O~;~I~;~J)\\
On considère les points $A(1~;~\sqrt{3})$, $C(-1~;~\sqrt{3})$ et $D(0~;~2\sqrt{3})$.
%Démontrer que ACD est un triangle équilatéral.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\0\end{pmatrix}$ donc $AC=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}$ donc $CD=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

\item $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1\\-\sqrt{3}\end{pmatrix}$ donc $AD=\sqrt{(-1)^2+\left(-\sqrt{3}\right)^2}=\sqrt{1+3}=2$
\end{enumerate}
$AC=CD=AD$ donc le triangle $ACD$ équilatéral.

\subsection{}

Dans chacun des cas, indiquer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la fonction f et préciser ,en justifiant, le sens de variation de la fonction. 

\begin{enumerate}[1)]
\item $f(x)=3x+5 $.\\
Le coefficient directeur vaut 3, leur donner à l'origine vaut 5. Le coefficient directeur est positif donc la fonction est croissante.

\item $f(x)=-x+0,9 $\\
Le coefficient directeur est -1, l'ordonnée à l'origine est 0,9. Le coefficient directeur est négatif donc la fonction affine est décroissante.

\item $f(x)=2-3x $\\
Le coefficient directeur est -3, l'ordonnée à l'origine est 2. Le coefficient directeur est négatif donc la fonction affine est décroissante.

\item $f(x) = -3+\dfrac{1}{2}x $.\\
Le coefficient direct est $\dfrac{1}{2}$, l'ordonnée à l'origine est -3. Le coefficient directeur est positif donc la fonction affine est croissante.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \\
$f(x) = -4x + 7$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Donner en justifiant le sens de variation de $f$.
Le coefficient directeur est -4 ; ce coefficient directeur est négatif, donc la fonction est décroissante.

\item %Dresser son tableau de signes.
Tableau de signes :\\
$f(x)=0$ équivaut à $-7x+4=0$ donc $x=\dfrac{7}{4}$
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{7}{4}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Quel est le signe de $f$ sur l'intervalle [2~;~3] ?
$[2~;~3]\subset\left[\dfrac{7}{4}~;~+\infty\right[$ donc sur $[2~;~3]$, $f$ est négative.

\item %Proposer un intervalle du type $J = [n~;~n+1]$, avec $n$ entier naturel, où la fonction change de signe.
$1\leqslant \dfrac{4}{7}\geqslant 2$.\\
Sur $[1~;~2]$, $f$ change de signe

\end{enumerate}




\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  