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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de AP \no 5 (vecteurs)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}


$ABCD$ est un carré de centre $O$.\\
%Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse :

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,4)
%\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=1pt,PosAngle={-90,-90,90,90}](0,0){A}(3,0){B}(3,3){C}(0,3){D}
\pstGeonode(1.5,1.5){O}
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{B}{D}
\end{pspicture}

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ : faux, car ces deux vecteurs sont de sens contraires.

\item $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ : vrai

\item $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$ : vrai car $-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CO}$

\item $OA=OC$ : vrai car $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$.

\item $OA=-OC$ faux car $OA$ est un nombre positif et $-OC$ est négatif.

\item $CO=OA$ : vrai
\end{enumerate}

\subsection{}
Recopier et compléter par des noms de points :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{BE }+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}$

\item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}$

\item $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}$
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
$(O~;~I~;~J)$ est un repère du plan ; on considère les points  A(1~;~5), B(-3~;~1), C(4~;~-1) ; K est le milieu de [BC].
\begin{center}
\psset{unit=.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-2)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-2)(5,6)
\pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=2](1,5){A}(-3,1){B}(4,-1){C}
\pstMiddleAB[PointSymbol=x,dotscale=2]{B}{C}{K}
\pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{B}{A}
\pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{C}{A}
\pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{C}{B}
\pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{K}{A}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item Placer les quatre points A, B, C et K dans le repère.

\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AK}$ .
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-1\\1-5\end{pmatrix}$ donc $\begin{pmatrix}-4,-4\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-6\end{pmatrix}$.

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}$

\item $K\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ ; $\overrightarrow{AK}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\-5\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points $A(1~;~1)$, $B(10~;~-2)$ et $C(14~;~10)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}9\\-3\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}13~;~9\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\item %En déduire les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{9^2+(-3)^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$

\item $BC=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144=160}$

\item $AC=\sqrt{13^2+(-9)^2}=\sqrt{169+81}=\sqrt{250}$

\end{enumerate}

\item %Que peut-on dire du triangle $ABC$ ?
$AC^2=250$ ; $AB^2+BC^2=160+90=250$.\\
$AC^2=AB^2+BC^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
\end{enumerate}


\subsection{}

 Dans un repère $(O~;~I~;~J)$, on considère les points $E(-8~;~-9)$, $F(-2~;~-7)$ et $G(4~;~1)$.\\
% Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme.
$EFGH$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$.\\
$\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}4-x_H\\1-y_G\end{pmatrix}$\\
On doit avoir : \\
$\begin{cases}4-x_H=6\\1-y_H=2\end{cases}\iff \begin{cases}x_H=-2\\y_H=-1\end{cases}$ donc les coordonnées de $H$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{H(-2~;~-1)}}$.
 
\subsection{}
Le plan étant muni d’un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points A (2~;~4), B(1~;~3) et C(4~;~2).

\begin{enumerate}[1)]
\item %Placer les points A B et C et compléter la figure au fur et à mesure.
\phantom{figure}\\
\begin{center}
\psset{unit=1.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(5,5)
\pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=2,CurveType=polygon](2,4){A}(1,3){B}(4,2){C}(5,3){D}
\pstLineAB{A}{C}
\end{pspicture}

\end{center}

\item Le point D est l’image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$

\begin{enumerate}
\item %Construire le point D.
Voir figure.

\item %Donner la nature du quadrilatère $ABCD$.
Par construction, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.

\end{enumerate}

\item  %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$.


\item %Calculer alors AB, AC et BC.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$

\item $AC=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}$

\item $BC=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature du triangle ABC ?
$BC^2=10$ ; $AB^2+AC^2=2+8=10$.\\
$BC^2=AB^2+AC^2$ donc, après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en $A$.
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  