\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} %\usepackage{ProfCollege,ProfLycee} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{empty} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de AP \no 5 (vecteurs)}}\end{center} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{} $ABCD$ est un carré de centre $O$.\\ %Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse : \psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(4,4) %\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()() %\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()() \pstGeonode[CurveType=polygon,linewidth=1pt,PosAngle={-90,-90,90,90}](0,0){A}(3,0){B}(3,3){C}(0,3){D} \pstGeonode(1.5,1.5){O} \pstLineAB{A}{C} \pstLineAB{B}{D} \end{pspicture} \begin{enumerate}[a)] \item $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$ : faux, car ces deux vecteurs sont de sens contraires. \item $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ : vrai \item $\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OC}$ : vrai car $-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CO}$ \item $OA=OC$ : vrai car $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$. \item $OA=-OC$ faux car $OA$ est un nombre positif et $-OC$ est négatif. \item $CO=OA$ : vrai \end{enumerate} \subsection{} Recopier et compléter par des noms de points : \begin{enumerate}[a)] \item $\overrightarrow{BE }+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}$ \item $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ \item $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{OP}$ \item $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}$ \end{enumerate} \columnbreak \subsection{} $(O~;~I~;~J)$ est un repère du plan ; on considère les points A(1~;~5), B(-3~;~1), C(4~;~-1) ; K est le milieu de [BC]. \begin{center} \psset{unit=.8,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-4,-2)(5,6) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-2)(5,6) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-2)(5,6) \pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=2](1,5){A}(-3,1){B}(4,-1){C} \pstMiddleAB[PointSymbol=x,dotscale=2]{B}{C}{K} \pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{B}{A} \pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{C}{A} \pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{C}{B} \pstLineAB[arrows=>,arrowsize=1pt 8,linewidth=1pt]{K}{A} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate}[1)] \item Placer les quatre points A, B, C et K dans le repère. \item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AK}$ . \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-1\\1-5\end{pmatrix}$ donc $\begin{pmatrix}-4,-4\end{pmatrix}$ \item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\-6\end{pmatrix}$. \item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}7\\-2\end{pmatrix}$ \item $K\left(\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ ; $\overrightarrow{AK}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\-5\end{pmatrix}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{} Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points $A(1~;~1)$, $B(10~;~-2)$ et $C(14~;~10)$. \begin{enumerate}[1)] \item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AC}$. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}9\\-3\end{pmatrix}$ \item $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}4\\12\end{pmatrix}$ \item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}13~;~9\end{pmatrix}$ \end{enumerate} \item %En déduire les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $AB=\sqrt{9^2+(-3)^2}=\sqrt{81+9}=\sqrt{90}$ \item $BC=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{16+144=160}$ \item $AC=\sqrt{13^2+(-9)^2}=\sqrt{169+81}=\sqrt{250}$ \end{enumerate} \item %Que peut-on dire du triangle $ABC$ ? $AC^2=250$ ; $AB^2+BC^2=160+90=250$.\\ $AC^2=AB^2+BC^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. \end{enumerate} \subsection{} Dans un repère $(O~;~I~;~J)$, on considère les points $E(-8~;~-9)$, $F(-2~;~-7)$ et $G(4~;~1)$.\\ % Déterminer les coordonnées du point $H$ tel que $EFGH$ soit un parallélogramme. $EFGH$ est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$.\\ $\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$.\\ $\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}4-x_H\\1-y_G\end{pmatrix}$\\ On doit avoir : \\ $\begin{cases}4-x_H=6\\1-y_H=2\end{cases}\iff \begin{cases}x_H=-2\\y_H=-1\end{cases}$ donc les coordonnées de $H$ sont : $\boxed{\textcolor{red}{H(-2~;~-1)}}$. \subsection{} Le plan étant muni d’un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, on considère les points A (2~;~4), B(1~;~3) et C(4~;~2). \begin{enumerate}[1)] \item %Placer les points A B et C et compléter la figure au fur et à mesure. \phantom{figure}\\ \begin{center} \psset{unit=1.2,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-1,-1)(5,5) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(5,5) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(5,5) \pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=2,CurveType=polygon](2,4){A}(1,3){B}(4,2){C}(5,3){D} \pstLineAB{A}{C} \end{pspicture} \end{center} \item Le point D est l’image de A par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$ \begin{enumerate} \item %Construire le point D. Voir figure. \item %Donner la nature du quadrilatère $ABCD$. Par construction, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \item %Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$. $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}$~;~$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}$. \item %Calculer alors AB, AC et BC. \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $AB=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$ \item $AC=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}$ \item $BC=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$ \end{enumerate} \item %Quelle est la nature du triangle ABC ? $BC^2=10$ ; $AB^2+AC^2=2+8=10$.\\ $BC^2=AB^2+AC^2$ donc, après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en $A$. \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document}