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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction de AP \no 3 }}\end{center}



\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f$ la fonction définie pâr $f(x)=3x^2-5x+1$.\\
%Calculer $f(-5)$ et $f(-1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-5)=3\times (-5)^2-5\times (-5)+1=3\times 25+25+1=\boxed{\textcolor{red}{101}}$

\item $f(-1)=3\times (-1)^2-5\times (-1)+1=3\times 1+5+1=9$
\end{enumerate}

\item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=\dfrac{x+2}{x^2+1}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Cette fonction est-elle définie sur $\mathbb{R}$ ?
Le dénominateur ne s'annule pas donc $g$ est définie sur $\mathbb{R}$.

\item %Calculer $g(-2)$.
$g(-2)=\dfrac{-2+2}{(-2)^2+1}=\dfrac{0}{5}=\boxed{\textcolor{red}{0}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction dont la courbe $\mathscr{C}$ rest représentée ci-dessous.\\
Les points marqués d'une croix ont des coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-10,-3)(5,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-10,-3)(5,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-10,-3)(5,4)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red](-9,-1)(-7,2)(-6,1)(-4,3)(-2,-2)(2,1)(4,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-9,-1)(-7,2)(-6,1)(-4,3)(-2,-2)(2,1)(4,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$  est $\mathscr{D}=[-9~;~4]$.

\item %Que vaut $f(-7)$ ? Que vaut $f(2)$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{f(-7)=2}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{f(2)=1}}$
\end{enumerate}

\item %Quel est le maximum de $f$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le maximum de $f$ est 3, atteint en $x=-4$.

\item %Quel est le minimum de $f$ ? En quelle valeur est-il atteint ?
Le minimum de $f$ est -2, atteint en $x=-2$.

\item %Résoudre l'équation $f(x)=1$.
L'équation $f(x)=1$ a pour solutions -8~;~-6 -3 et 2. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-8~;~-6~;-3~;~~2\}}}$

\item %Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant 0$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-8,6~;~-3] \cup [0,6~;~4]}}$.

\item %Dressser le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&-8&&-6&&-4&&-2&&2&&4\\
\hline
\m{f(x )}&-1&\c&\h{2}&\d&1&\c&\h{3}&\d&-2&\c&\h{1}&\d&4\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}




\newpage


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$, $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $O$ passant par le point $A(1~;~2)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer le rayon de ce cercle.
Le rayon du cercle est \\
$r=OA=\sqrt{\left(x_A-x_O\right)^2+\left(y_A-y_O\right)^2}\\
=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{r=\sqrt{5}}}$

\item %Le point $B\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ appartient-il au cercle $\mathscr{C}$ ?
$OB=\sqrt{\left(x_B-x_O\right)^2+\left(y_B-y_O\right)^2}\\
=\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{11}}2{}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{11}{4}}=\sqrt{\dfrac{20}{4}}=\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{OB=\sqrt{5}}}$.\\
$OB$ est égale au rayon du cercle, donc $B$ appartient au cercle $\mathscr{C}$.

\item %Le point $B(2,3~;~0,)$ appartient-il au cercle $\mathscr{C}$ ?
$OC=\sqrt{\left(x_C-x_O\right)^2+\left(y_C-y_O\right)^2}=\sqrt{2,3^2+0,5^2}\\
=\sqrt{5,54}\neq \sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{C\notin\mathscr{C}}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
Soient $A(1~;~-2)$, $B(6~;~1)$ et $M(8~;~-8)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $AM$ et $BM$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AM=sqrt{\left(x_M-x_A\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(8-1)^2+(-8-(-2))^2}=\sqrt{7^2+(-6)^2}\\
=\sqrt{49+36}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AM=\sqrt{85}}}$

\item $BM=\sqrt{\left(x_M-x_B\right)^2+\left(y_M-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(8-6)^2+(-8-1)^2}=\sqrt{2^2+(-9)^2}\\
=\sqrt{4+81}=\sqrt{85}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BM=\sqrt{85}}}$
\end{enumerate}

\item %En déduire que $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
$MA=MB=\sqrt{85}$ donc $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ : $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points $O=(0~;~0)$, $B=(3~;~1)$~;~ \\
$C=(2~;~2)$ et D$=(1~;~4)$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\pstGeonode[PosAngle={0,0,0,0},CurveType=polygon,fillstyle=solid,fillcolor=blue!20](0,0){O}(3,1){B}(2,2){C}(1,4){D}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(4,5)

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $OB=\sqrt{\left(x_B-x_O\right)^2+\left(y_B-y_O\right)^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}=\sqrt{(2-3)^2+(2-1)^2}\\
=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{2}}}$

\item $CD=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(4-2)^2}\\
=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{5}}}$

\item $OD=\sqrt{\left(x_D-x_O\right)^2+\left(y_D-y_O\right)^2}=\sqrt{1^2+4^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{17}}}$
\end{enumerate}
%Calculer la valeur exacte du périmètre du polygone $OBCD$.
Le périmètre du polygone $OBCD$ est \\
$OB+BC+CD+OD=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{10}+\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{17}}}$.


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  