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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} correction de AP \no 17 (inéquations)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item Résoudre les équations et inéquations suivantes
\begin{enumerate}[a)]

\item $-7x-5=0\iff -7x=5\iff \boxed{\textcolor{red}{x=-\dfrac{5}{7}}}$

\item $-7x-5>0\iff -7x>5\iff \boxed{\textcolor{red}{x<-\dfrac{5}{7}}}$ (l'inégalité change de sens car on divise par -7, négatif)

\item $3x+8=0\iff \boxed{\textcolor{red}{x=-\dfrac{8}{3}}}$

\item $3x+8>0\iff x>-\dfrac{8}{3}$
\end{enumerate}

\item %En déduire le signe de l'expression $(-7x+5)(3x+8)$
Pour avoir le signe de l'expression $(-7x-5)(3x+8)$, on renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{8}{3}&&-\dfrac{5}{7}&&\pI\\
\hline
-7x-5&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
3x+8&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
(-7x-5)(3x+8)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire les solutions de l'inéquation $(-7x+5)(3x+8)\leqslant 0$
L'ensemble des solutions de l'inéquation  $(-7x-5)(3x+8)\leqslant 0$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{8}{3}\right] \cup \left[-\dfrac{5}{7}~;~+\infty\right[}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[1)]
\item $(x+3)(x-8)\leqslant 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x+3=0\iff x=-3$

\item $x+3>0\iff x>-3$

\item $x-8=0\iff x=8$

\item $x-8>0\iff x>8$

\item Tableau de signes du produit :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&8&&\pI\\
\hline
x+3&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
X-8&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(x+3)(x-8)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions de l'inéquation $(x+3)(x-8)\leqslant 0$ est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-3~;~8\right]}}$

\item $(3x-2)(5x+11)\geqslant 0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $3x-2=0\iff x=\dfrac{2}{3}$

\item $3x-2>0\iff x>\dfrac{2}{3}$

\item $5x+11=0\iff x=-\dfrac{11}{5}$

\item $5x+11>0\iff x>-\dfrac{11}{5}$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{11}{5}&&\dfrac{2}{3}&&\pI\\
\hline
3x-2&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
5x+11&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
(3x-2)(5x+11)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions de l'inéquation est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{11}{5}\right] \cup \left[\dfrac{2}{3}~;~+\infty\right[}}$.

\item $(3x+5)(7x-1)\geqslant (3x+5)(-2x+9)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On se ramène à une comparaison à 0 :\\
$(3x+5)(7x-1)\geqslant (3x+5)(-2x+9)\iff (3x+5)(7x-1)- (3x+5)(-2x+9)\geqslant 0$.

\item On voit qu'on peut factoriser :\\
On obtient : $(3x+5)\left[(7x-1)-(-2x+9)\right]\geqslant 0\iff (3x+5)(9x-10)\geqslant 0$

\item $3x+5=0\iff x=-\dfrac{5}{3}$ et $3x+5>0\iff x>-\dfrac{5}{3}$

\item $9x-10=0\iff x=\dfrac{10}{9}$ et $9x-10>0\iff x>\dfrac{10}{9}$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{5}{3}&&\dfrac{9}{10}&&\pI\\
\hline
3x+5&&-&±l&-&\z&=&\\
\hline
9x-10&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(3x+5)(9x-10)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{5}{3}\right] \cup \left[\dfrac{9}{10}~;~+\infty\right[}}$.
\end{enumerate}

\item $\dfrac{x+3}{x-8}>0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il faut que $x\neq 8$

\item On trouve, en renseignant un tableau de signes = $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~3[ \cup ]8~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\item $\dfrac{3x+5}{x-7}\geqslant 1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 
\end{enumerate}On doit avoir $x\neq 7$

\item On se ramène à une comparaison à 0.\\
$\dfrac{3x+5}{x-7}\geqslant 1\iff \dfrac{3x+5}{x-7}- 1\geqslant 0\\
\iff \dfrac{(3x+5)-(x-7)}{x-7}\geqslant 0\iff \dfrac{2x+12}{x-7}\geqslant 0\iff \dfrac{2(x+6)}{x-7}\geqslant 0\iff \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{x+6}{x-7}\geqslant 0}}$ (après division par 2).

\item En renseignant un tableau de signes, on trouve : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-6] \cup ]7~;~+\infty[}}$ (car 7 est une valeur interdite)
\end{enumerate}

\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}