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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la feuille d'AP \no 16}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La somme de trois nombres entiers consécutifs est 711.\\
Quels sont ces trois nombres ?\\
Notons $n$ le nombre du milieu.\\
Les trois nombres sont alors $n-1$, $n$ et $n+1$.\\
La somme est $n-1+n+n+1=3n$.\\
Alors : $3n=711$ donc $n=\dfrac{711}{3}=237$.\\
Les trois nombres sont 236, 237 et 238

\subsection{}
Un triangle a pour côtés $2x$ , $3x + 2$ et $4x- 3$.\\
Pour quelles valeurs de $x$ est-il isocèle ?\\
Un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On résout : $2x=3x+2\iff x=-2$ qui impossible car $x$ doit être positif.

\item On résout : $2x=4x-3\iff 3=2x\iff x=\dfrac{3}{2}$. Les côtés mesurent alors 3~;~$\dfrac{13}{2}$ et 3.

\item On résout : $3x+2=4x-3\iff 5=x$ ; les côtés mesurent alors 10~;~17 et 17
\end{enumerate}

\subsection{}
Un triangle a pour côtés $x + 3$ , $2x$ et $x + 1$.\\
%Pour quelles valeurs de $x$ ce triangle est-il rectangle ?
Les carrés des côtés valent respectivement :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(x+3)^2=x^2+6x+9$

\item $(2x)^2=4x^2$

\item $(x+1)^2=x^2+2x+1$
\end{enumerate}
On regarde si le carré d'un côté est égal à la somme des deux autres carrés.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On résout : $x^2+6x+9=4x^2+x^2+2x+1\\
\iff 4x^2-4x-8=0\iff x^2-x-2=0\\\
iff (x+1)(x-2)=0$ ; les solutions sont -1 et 2, mais -1 est impossible car $x$ doit être positif.

\item On résout : $4x^2=x^2+6x+9+x^2+2x+1\\
\iff 2x^2-8x-10=0\iff x^2-4x-5=0\\
\iff (x+1)(x-5)=0$ ; les solutions sont -1 (impossible) et 5.

\item On résout : $x^2+2x+1=x^2+6x+9+4x^2\\
\iff 4x^2+4x+8=0$ (impossible car c'est la somme de nombres des positifs)
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : les valeurs possibles our $x$ sont 2 et 5.

\subsection{}
Aux quatre coins d’un carré de côté 4 \si{\centi\metre}, on a enlevé quatre carrés de côté $x$.\\
On obtient ainsi une croix hachurée sur la figure.
\begin{center}
\psset{unit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,7)
\psframe(6,6)
\pspolygon[fillstyle=vlines](1,0)(5,0)(5,1)(6,1)(6,5)(5,5)(5,6)(1,6)(1,5)(0,5)(0,1)(1,1)(1,0)
\psline{<->}(-1,0)(-1,6)
\uput[r](-1,3){4}
\psline{<->}(6,5)(6,6)
\uput[r](6,5.5){$x$}
\end{pspicture}
\end{center}
Déterminer $x$ pour que l’aire de la croix soit la moitié de celle du carré.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'aire de la croix est $4^2-4x^2=16-4x^2$.

\item L'aire du carré est $4^2=16$

\item On résout alors : $16-4x^2=\dfrac{16}{2}\iff 16-4x^2=8\\
\iff 4x^2=8\iff x^2=2$.\\
La seule solution positive est $\boxed{\textcolor{red}{x=\sqrt{2}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[1)]
\item $2x+3\leqslant 5\iff 2x\leqslant 5-3\iff 2x\leqslant 2\iff x\leqslant 1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~1\right]}}$.

\item $-3x\leqslant 5\iff \dfrac{-3}{-3}\geqslant\dfrac{5}{-3}\iff x\geqslant -\dfrac{5}{3}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}\left[-\dfrac{5}{3}~;~+\infty\right[}}$ (l'inégalité a changé de sens car on a divisé par un nombre négatif)

\item $3x+7\leqslant 5x-2\iff 7-2\leqslant 5x-3x\iff 5\leqslant 2x\iff \dfrac{5}{2}\leqslant x\iff x\geqslant \dfrac{5}{2}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[\dfrac{5}{2}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  