\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}

\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la séance d'AP \no 15 \\
(fonctions de référence-équations)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Coi-dessous est représentée la fonction carré :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{x^2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelle est l'image de l'intervalle $[1~;~3]$ par $f$ ?
$x\in[1~;~3]\iff 1\leqslant x\leqslant 3$.  $x$ est donc positif et la fonction carré est crosisante sur $[0~;~+\infty[$ donc $1^2\leqslant x^2\leqslant 3^2$.\\
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)\in[1~;~9]}}$ ; l'image de $[1~;~3]$ est $[1~;~9]$.

\item %Quelle est l'image de l'intervalle $[-3~;~2]$ par $f$ ?
$x\in[-3~;~2]\iff -3\leqslant x\leqslant 2$.\\
Lorsque $x$ parcourt cet intervalle, $x^2$ (sur l'axe des ordonnées) commence à décroître de 9 à 0, puis croît de 0 à 4?\\
L'image de $[-3~;~2]$ est donc $[0~;~9]$.
\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
On a représenté ci-dessous la courbe représentative $\mathscr{C}$ de la fonction inverse.

\begin{center}
\psset{unit=.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-3,-5)(3,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{-.2}{1/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{.2}{3}{1/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{1.7}{(3*x+5)/2}
\uput[ur](2,.5){$\mathscr{C}$}
\uput[dr](1,4){$\mathscr{D}_g$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2,-.5)(.333,3)(-1,1)(1,4)
\end{pspicture}
\end{center}
On souhaite résoudre graphiquement l'équation \[\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item On pose $g(x)=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}$.\\
Représenter  la droite $\mathscr{D}_g$, représentative de $g$.\\
Pour tracer une droite, il nous faut les coordonnées de deux points :\\
remplissons un tableau de valeur
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&-1&1\\
\hline
g(x)=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{5}{2}&1&4\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\item %En déduire les valeurs approchées de l'équation.
L'équation équivaut à $f(x)=g(x)$ ; des solutions sont des abscisses, des points d'intersection des deux courbes. Les solutions sont :\\
$x_1\approx -2$ et $x_2\approx 0,3$

\item %Vérifier que les solutions exactes de l'équation sont -2 et $\dfrac{1}{3}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$ et $g(-2)=\dfrac{3}{2}\times (-2)+\dfrac{5}{2}=-\dfrac{1}{2}$ donc $f(-2)=g(-2)$.

\item $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=3$ et $g\left(\dfrac{1}{3}\right)= \dfrac{3}{2}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{2}=3$ donc $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=g\left(\dfrac{1}{3}\right)$.
\end{enumerate}
-2 et $\dfrac{1}{3}$ sont bien solutions de cette équation, ce qui confirme les valeurs approchées trouvées.
\end{enumerate}

\subsection{}
%Résoudre ls équations suivantes :
\begin{enumerate}[1)]
\item $3x+5=7x-2\iff 3x-7x=-2-5\leqslant -4x=-7\\
\iff x=\dfrac{-7}{-4}=\dfrac{7}{4}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{7}{4}\right\}}}$

\item $\dfrac{3}{4}x+5=\dfrac{1}{2}x-9\iff \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}x=-9-5\iff \dfrac{1}{4}x=-14\iff x=-14\times 4\iff \boxed{\textcolor{red}{x=-56}}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-56\}}}$

\item $\dfrac{x+4}{x-5}=10$\\
La valeur interdite est 5 ; $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\{5\}$.\\
Pour $x\neq 5$ :\\
$\dfrac{x+4}{x-5}=10\iff x+4=10(x-5)\\
\iff x+4=10x-50\iff -9x=-54\\
\iff x=\dfrac{-54}{-9}=6$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{6\}}}$

\item $(3x+7)(9x-2)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item premier cas : $3x+7=0\iff 3x=-7\\
\iff x=-\dfrac{7}{3}$

\item deuxième cas : $9x-2=0\iff x=\dfrac{2}{9}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{3}~;~\dfrac{2}{9}\right\}}}$
\end{enumerate}



\subsection{}
Un père a 45 ans, son fils 9 ans.\\
Dans combien d’années aura-t-il le triple de l’âge du fils ?\\
Notons $x$ le nombre d'années à attendre.\\
L'âge du père sera $45+x$.\\
Celui du fils sera $9+x$.\\
On aura : $45+x=3(9+x)\iff 45+x=27+3x\\
\iff 45-27=3x-x\iff 18=2x\iff \boxed{\textcolor{red}{x=9}}$.\\
Dans 9 ans, le père aura 54 ans, le fils 18 ans et 54 eh bien le triple de 18

\subsection{}
Déterminer un nombre entier sachant que le produit de ce nombre par son suivant surpasse son carré de 13.\\
Soit $x$ le nombre cherché.\\
On doit avoir :\\
$x(x+1)=x^2+13\iff x^2+x=x^2+13\iff \boxed{\textcolor{red}{x=13}}$.\\
Ce nombre est 13.

\subsection{}
La somme de trois nombres entiers consécutifs est 711.\\
%Quels sont ces trois nombres ?
Notons $x$ le nombre intermédiaire.\\
Les trois nombres sont $x-1$~;~$x$ et $x+1$\\
On doit avoir : $(x-1)+ x+(x+1)=3x$ donc $3x=711$ d'où $x=\dfrac{711}{3}=\boxed{\textcolor{red}{237}}$.\\
Les trois nombres sont 236, 237 et 238.

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}