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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction de la feuille d'accompagnement personnalisé : séance \no 14}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On munit le plan d'un repère orthogonal.\\
Sur le graphique ci-contre, on a représenté deux fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [-3~;~5].\\
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ et $\mathscr{D}_g$ la droite qui représente $g$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.9,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-9)(6,13)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-9)(6,13)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-9)(6,13)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{5}{(x+1)*(x-3)}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{5}{-2*x+2}
\psdots(-3,12)(5,12)(-3,8)(5,-8)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de -3 par $f$ ?
L'image de -3 par $f$ est 12.

\item %Que vaut $g(-1)$ ?
$g(-1)=4$

\item %Quels sont les antécédents de 5 par la fonction $f$  ?
Les antécédents de 5 par la fonction $f$ sont -2 et 4.

\item %Quelle est l'abscisse du point de $\mathscr{D}_g$ d'ordonnée 4 ?
L'abscisse du point de $\mathscr{D}_g$ d'ordonnée 4 est -1.

\item %Quel est l'ensemble des solutions de l'équation $f(x) = -3$ ?
Les solutions de l'équation $f(x) = -3$ sont les abscisses des points de la courbe $\mathscr{C}_f$ dont l'ordonnée est -3 : ce sont 0 et 2.\\
$\mathscr{S}=\{0~;~2\}$

\item %Quel est l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = g(x) ?
Les solutions de l'équation $f(x) = g(x)$ sont les abscisses des points d'intersection de deux courbes : $\mathscr{S}=\{-2,22,2\}$ (valeurs approchées).

\item %Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x) < 2$ ?
L'ensemble des solutions de l'inéquation $g(x) < 2$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]2~;~+\infty[}}$ (abscisses des points de $\mathscr{D}_g$ dont l'ordonnée est strictement inférieure à 2).

\item %Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > -3$ ?
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) > -3$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~0[ \cup ]2~;~+\infty[}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction carré $f:x\mapsto x^2$ :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{3}{x^2}
\end{pspicture}
-\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Donner l'image par $f$ de l'intervalle $[1~;~3]$.
Sur $[0~;~=\infty[$, $f$ est croissante donc, si $1\leqslant x\leqslant 3$, $1^2\leqslant x^2\leqslant 3^2$.\\
On en déduit que l'image de l'intervalle $[1~;~3]$ est l'intervalle $\boxed{\textcolor{red}{[1~;~9]}}$.

\item %Donner l'image par $f$ de l'intervalle $[-2~;~3]$.
Sur $[-2~;~3]$, la fonction carré n'est pas monotone ; utilisons la courbe.\\
Lorsque $x$ parcourt l'intervalle $[-2~;~3]$, $x^2$ décroît d'abord de 4 à 0, puis croît de 0 à 9.\\
L'image de l'intervalle $[-2~;~3]$ est $\boxed{\textcolor{red}{[0~;~9]}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Comparer, sans utiliser la fontion inverse, les nombres $\dfrac{1}{3}$~;~$-\dfrac{1}{5}$~;~$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$~;~$\dfrac{1}{\pi}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les nombres 3~;~5~;~$\sqrt{2}$ et $\pi$ sont positifs.

\item Sur $]0~;~+\infty[$, la fonction inverse est décroissante donc renverse l'ordre.

\item On a : $\sqrt{2}<3<\pi<5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{5}<\dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{\pi}<\dfrac{1}{\sqrt{2}}}}$

\end{enumerate}\subsection{}
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction inverse :

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](.25,4)(.5,2)(1,1)(2,.5)(4,.25)(-.25,-4)(-.5,-2)(-1,-1)(-2,-.5)(-4,-.25)
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{3}{-0.5}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{3}{2}
\end{pspicture*}
\end{center}
En utilisant cette courbe, résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{x}\leqslant -\dfrac{1}{2}$.\\
Sur la courbe, on cherche les abscisses des points ayant une ordonnée inférieure ou égale à -0,5 : on trouve $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-2~;~0[}}$

\item $\dfrac{1}{x}\leqslant 2$.\\
Tous les nombres strictement négatifs conviennent.\\
Pour les nombres positifs, il faut que $x\geqslant \dfrac{1}{2}$.\\
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~0[ \cup ]2~;~+\infty[}}$
\item $\dfrac{1}{x}\geqslant \dfrac{1}{3}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]0~;~3]}}$
\end{enumerate}

\end{multicols}



\subsection{}
On considère les fonctions $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ et $g : x\mapsto 2x-1$, définie sur $\mathbb{R}$.\\
On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction  $f$ :

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-7,-5)(7,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-7,-5)(7,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-7,-5)(7,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-7}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{7}{1/x}
%\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](.25,4)(.5,2)(1,1)(2,.5)(4,.25)(-.25,-4)(-.5,-2)(-1,-1)(-2,-.5)(-4,-.25)
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-2}{3}{2*x-1}
\uput[r](2,3){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Tracer sur ce graphique la droite représentative de $g$.
Voir le graphique.

\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ sort les abscisses des points d'intersection des deux courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$.\\
On trouve $x_1\approx -0,5$ et $x_1\approx 1$.

\item %Calculer $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$, $f(1)$ et $g(1)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2$ et $g\left(-\dfrac{1}{2}\right)=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-1=-2$ donc $f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=g\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

\item $f(1)=\dfrac{1}{1}=1$ det $g(1)=2\times 1-1=1$ donc $f(1)=g(1)$.
\end{enumerate}
%Que peut-on en conclure.
On en conclut que les solutions de l'équation sont $-\dfrac{1}{2}$ et 1, ce que nous avions trouvé gragraphiquement. 

\item %En déduire, à l'aide du graphique, les solutions de l'inéquation. $f(x)\geqslant g(x)$.
Les solutions de l'inéquation. $f(x)\geqslant g(x)$ sont alors : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left[-\dfrac{1}{2}~;~0\right[ \cup [1~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}


\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  