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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} Correction de la feuille d'exercices (AP-10)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Représenter graphiquement la fonction définie par $f(x)=\dfrac{5}{3}x-2$\\
La représentation graphique et une droite ; il suffit de connaître les coordonnées de deux points.\\
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&0&6\\
\hline
f(x)=\dfrac{5}{3}x-2&-2&8\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
La droite passe par les points de coordonnées $(0~;~-2)$ et $(6~;~8)$.
\begin{center}
\psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-4)(7,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-4)(7,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-4)(7,9)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1}{6.5}{5*x/3-2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-2)(6,8)
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}


\begin{enumerate}[a)]
\item %Calculer la distance entre 5 et 2.
La distance entre 5 et 2 est $\left\vert 5-2 \right\vert=\left\vert 3 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{3}}$

\item %Calculer la distance entre 1 et 7
La distance entre 1 et 7 est $\left\vert 7-1 \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$


\item %Calculer la distance entre -1 et 5
La distance entre -1 et 5 est $\left\vert 5-(-1) \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$

\item %Calculer la distance entre -5 et -1.
La distance entre -5 et -1 est $\left\vert -1-(-5) \right\vert=\left\vert -1+5 \right\vert=\left\vert 4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
%Simplifier les écritures suivantes ( donc écrire le résultat sans valeurs absolues) :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert 2 - 3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\left\vert 5 + 3 \right\vert=\left\vert 8 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{8}}$

\item $\left\vert 2\times (4 - 5) \right\vert=\left\vert 2\times (-1) \right\vert=\left\vert -2 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2}}$

\item $\left\vert 4 \times 2 - 5 \times 7 \right\vert=\left\vert 8-35 \right\vert=\left\vert -27 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{27}}$

\item $\left\vert 7 + 2 \times 4 - 6 \right\vert=\left\vert 7+8-6 \right\vert=\left\vert 9 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{9}}$

\item $\left\vert 2 - 3 \times 2 \right\vert=\left\vert 2-6 \right\vert=\left\vert -4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$

\item $\left\vert 5,5 \right\vert+ \left\vert - 4,5 \right\vert$

\item $\left\vert -5,5 \right\vert-\left\vert 4,5 \right\vert=5,5+4,5=\boxed{\textcolor{red}{10}}$

\item $\left\vert 2 \times 3 - 7 \right\vert=\left\vert 6-7 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\left\vert \sqrt{2}-\sqrt{3} \right\vert=-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ car $\sqrt{2}-\sqrt{3}<0$

\item $\left\vert 3-\pi \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{\pi-3}}$ car $3-\pi<0$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $\left\vert 2 \right\vert$, $\left\vert -3 \right\vert$ et $\left\vert 2+(-3) \right\vert$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert 2 \right\vert=2$

\item $\left\vert -3 \right\vert=3$

\item $\left\vert 2+(-3) \right\vert=\left\vert 2-3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=1$
\end{enumerate}

\item Émile pense que pour tout les nombres $x$ et $y$, on a $\left\vert x+y \right\vert=\left\vert x \right\vert+\left\vert y \right\vert$.\\
%A-t-il raison ou tort ?
$\left\vert 2 \right\vert+\left\vert -3 \right\vert=2+3=5\neq\left\vert 2+(-3) \right\vert$ donc il a tort.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x+y \right\vert\neq \left\vert x \right\vert+\left\vert y \right\vert}}$
\end{enumerate}


\subsection{}

\begin{enumerate}

\item %Quels sont les nombres qui sont à une distance de 5 du nombre 3 ?
Les nombres qui sont à une distance de 5 du nombre 3 sont -2 et 8.

\item %Résoudre l’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$
$\left\vert x - 3 \right\vert$ est la distance entre $x$ et 3.\\
L’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$ a donc pour solutions -2 et 8 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~8\}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre les équations suivantes :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert x \right\vert = 3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~3\}}}$

\item  $\left\vert x - 2 \right\vert = 3$.\\
La distance entre $x$ et 2 vaut 3 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~5\}}}$

\item $\left\vert x - 4 \right\vert = 7$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~10\}}}$

\item $\left\vert x + 2  \right\vert= 3$ s'écrit $\left\vert x-(-2) \right\vert=3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~1\}}}$

\item $\left\vert x - 4 \right\vert = 0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{4\}}}$

\item $\left\vert x - 2 \right\vert = -1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$ car la valeur absolue d'un nombre est positive.

\end{enumerate}


\subsection{}
Résoudre graphiquement  les inéquations suivantes :\\
On utilise une droite graduée.

\begin{enumerate}[a)]
\item $\left\vert x-3 \right\vert\leqslant 2$.\\
La distance entre $x$ et 3 doit être inférieure ou égale -2 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[1~;~5]}}$

\item $\left\vert x-7 \right\vert<3$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]4~;~10[}}$ (on rejette les bornes 4 et 10 car la distance entre $x$ et 7 doit être \textbf{strictement} inférieure à 3)

\item $\left\vert x-3 \right\vert\geqslant 5$.\\
La distance entre $x$ et 3 doit être supérieur ou égal à 5.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-2] \cup [8~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Traduire à l'aide d'une inégalité avec une valeur absolue les appartenances suivantes :

\begin{enumerate}[1)]

\item $x\in[3~;~9]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x-6 \right\vert\leqslant 3}}$ car le milieu de l'intervalle $[3~;~9]$ est 6 et la distance entre 6 et 9 est 3.

\item $x\in[-5~;~8]$.\\
Le milieu de l'intervalle $[-5~;~8]$ est $\dfrac{3}{2}$.\\
$x\in[-5~;~8]$ équivaut à $\left\vert x-\dfrac{3}{2} \right\vert\leqslant \dfrac{13}{2}$ car $8-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{2}$

\item $x\in]100~;~110[$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x-105 \right\vert<5}}$
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  