\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} %\usepackage{ProfCollege,ProfLycee} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \begin{document} \begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} Correction de la feuille d'exercices (AP-10)}}\end{center} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{} Représenter graphiquement la fonction définie par $f(x)=\dfrac{5}{3}x-2$\\ La représentation graphique et une droite ; il suffit de connaître les coordonnées de deux points.\\ \begin{center} $\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline x&0&6\\ \hline f(x)=\dfrac{5}{3}x-2&-2&8\\ \hline \end{array}$ \end{center} La droite passe par les points de coordonnées $(0~;~-2)$ et $(6~;~8)$. \begin{center} \psset{unit=.7,comma=true,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-4)(7,9) \psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-4)(7,9) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-4)(7,9) \psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-1}{6.5}{5*x/3-2} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,-2)(6,8) \end{pspicture} \end{center} \subsection{} \begin{enumerate}[a)] \item %Calculer la distance entre 5 et 2. La distance entre 5 et 2 est $\left\vert 5-2 \right\vert=\left\vert 3 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{3}}$ \item %Calculer la distance entre 1 et 7 La distance entre 1 et 7 est $\left\vert 7-1 \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$ \item %Calculer la distance entre -1 et 5 La distance entre -1 et 5 est $\left\vert 5-(-1) \right\vert=\left\vert 6 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{6}}$ \item %Calculer la distance entre -5 et -1. La distance entre -5 et -1 est $\left\vert -1-(-5) \right\vert=\left\vert -1+5 \right\vert=\left\vert 4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$ \end{enumerate} \subsection{} %Simplifier les écritures suivantes ( donc écrire le résultat sans valeurs absolues) : \begin{enumerate}[a)] \item $\left\vert 2 - 3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ \item $\left\vert 5 + 3 \right\vert=\left\vert 8 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{8}}$ \item $\left\vert 2\times (4 - 5) \right\vert=\left\vert 2\times (-1) \right\vert=\left\vert -2 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{2}}$ \item $\left\vert 4 \times 2 - 5 \times 7 \right\vert=\left\vert 8-35 \right\vert=\left\vert -27 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{27}}$ \item $\left\vert 7 + 2 \times 4 - 6 \right\vert=\left\vert 7+8-6 \right\vert=\left\vert 9 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{9}}$ \item $\left\vert 2 - 3 \times 2 \right\vert=\left\vert 2-6 \right\vert=\left\vert -4 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{4}}$ \item $\left\vert 5,5 \right\vert+ \left\vert - 4,5 \right\vert$ \item $\left\vert -5,5 \right\vert-\left\vert 4,5 \right\vert=5,5+4,5=\boxed{\textcolor{red}{10}}$ \item $\left\vert 2 \times 3 - 7 \right\vert=\left\vert 6-7 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{1}}$ \item $\left\vert \sqrt{2}-\sqrt{3} \right\vert=-\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}}$ car $\sqrt{2}-\sqrt{3}<0$ \item $\left\vert 3-\pi \right\vert=\boxed{\textcolor{red}{\pi-3}}$ car $3-\pi<0$ \end{enumerate} \subsection{} \begin{enumerate}[1)] \item %Calculer $\left\vert 2 \right\vert$, $\left\vert -3 \right\vert$ et $\left\vert 2+(-3) \right\vert$ \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\left\vert 2 \right\vert=2$ \item $\left\vert -3 \right\vert=3$ \item $\left\vert 2+(-3) \right\vert=\left\vert 2-3 \right\vert=\left\vert -1 \right\vert=1$ \end{enumerate} \item Émile pense que pour tout les nombres $x$ et $y$, on a $\left\vert x+y \right\vert=\left\vert x \right\vert+\left\vert y \right\vert$.\\ %A-t-il raison ou tort ? $\left\vert 2 \right\vert+\left\vert -3 \right\vert=2+3=5\neq\left\vert 2+(-3) \right\vert$ donc il a tort.\\ \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x+y \right\vert\neq \left\vert x \right\vert+\left\vert y \right\vert}}$ \end{enumerate} \subsection{} \begin{enumerate} \item %Quels sont les nombres qui sont à une distance de 5 du nombre 3 ? Les nombres qui sont à une distance de 5 du nombre 3 sont -2 et 8. \item %Résoudre l’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$ $\left\vert x - 3 \right\vert$ est la distance entre $x$ et 3.\\ L’équation : $\left\vert x - 3 \right\vert= 5$ a donc pour solutions -2 et 8 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-2~;~8\}}}$ \end{enumerate} \subsection{} Résoudre les équations suivantes : \begin{enumerate}[a)] \item $\left\vert x \right\vert = 3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~3\}}}$ \item $\left\vert x - 2 \right\vert = 3$.\\ La distance entre $x$ et 2 vaut 3 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-1~;~5\}}}$ \item $\left\vert x - 4 \right\vert = 7$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~10\}}}$ \item $\left\vert x + 2 \right\vert= 3$ s'écrit $\left\vert x-(-2) \right\vert=3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-5~;~1\}}}$ \item $\left\vert x - 4 \right\vert = 0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{4\}}}$ \item $\left\vert x - 2 \right\vert = -1$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$ car la valeur absolue d'un nombre est positive. \end{enumerate} \subsection{} Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :\\ On utilise une droite graduée. \begin{enumerate}[a)] \item $\left\vert x-3 \right\vert\leqslant 2$.\\ La distance entre $x$ et 3 doit être inférieure ou égale -2 : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[1~;~5]}}$ \item $\left\vert x-7 \right\vert<3$ : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]4~;~10[}}$ (on rejette les bornes 4 et 10 car la distance entre $x$ et 7 doit être \textbf{strictement} inférieure à 3) \item $\left\vert x-3 \right\vert\geqslant 5$.\\ La distance entre $x$ et 3 doit être supérieur ou égal à 5.\\ $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-\infty~;~-2] \cup [8~;~+\infty[}}$ \end{enumerate} \subsection{} Traduire à l'aide d'une inégalité avec une valeur absolue les appartenances suivantes : \begin{enumerate}[1)] \item $x\in[3~;~9]$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x-6 \right\vert\leqslant 3}}$ car le milieu de l'intervalle $[3~;~9]$ est 6 et la distance entre 6 et 9 est 3. \item $x\in[-5~;~8]$.\\ Le milieu de l'intervalle $[-5~;~8]$ est $\dfrac{3}{2}$.\\ $x\in[-5~;~8]$ équivaut à $\left\vert x-\dfrac{3}{2} \right\vert\leqslant \dfrac{13}{2}$ car $8-\dfrac{3}{2}=\dfrac{13}{2}$ \item $x\in]100~;~110[$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{\left\vert x-105 \right\vert<5}}$ \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document}