\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}



\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  9 fonctions affines (2)}}\end{center}






\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Étudier le signe des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x+7$\\
$f(x)=0$ équivaut à $x=-\dfrac{7}{3}$.\\
Le coefficient directeur est $a=3>0$.\\
Le tableau de signe est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{3}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }f(x)&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $g(x)=-11x+3$\\
$g(x)=0$ équivaut à $x=\dfrac{3}{11}$.\\
Le coefficient directeur est $a=-11<0$.\\
Le tableau de signe est :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{3}{11}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }g(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{}
$f$ est une fonction affine dont on donne le tableau de signes ci-dessous ;
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\pI\\
\hline
f(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Que vaut $f(-2)$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=0}}$

\item %Quel est le signe de $f(3)$ ?
$3>-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(3)>0}}$

\item %Quel est le signe de $f(-10)$ ?
$-10<-2$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(3)<0}}$

\item %Quel est le signe de $f(0)$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(0)<0}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
En France, les températures sont mesurées en degrés Celsius (\degre C).

Les pays anglo-saxons utilisent le degré Fahrenheit (\degre F).

La fonction $f$ qui, à une température $x$ en degrés Celsius, associe cette température en degrés Fahrenheit est une fonction affine telle que : 0\degre C = 32 \degre F et 100\degre C = 212\degre F.


\begin{enumerate}
\item %Déterminer la fonction $f$.
$f$ est affine donc il existe $m$ et $p$ tels que $f(x)=mx+p$.\\
$f(0)=32$ donc $m\times 0+p=32$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{p=32}}$.\\
On en déduit : $f(x)=mx+32$.\\
$f(100)=212$ donc $100m+32=212$ donc $100m=180$ et $m=\dfrac{180}{100}=\dfrac{9}{5}$.\\
On a : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=\dfrac{9}{5}x+32}}$

\item %Déterminer la fonction affine $g$ qui permet de passer des degrés Fahrenheit aux degrés Celsius.
$g$ est affine donc $g(x)=m'x+p'$.\\
$\begin{cases}g(32)=0\\g(212)=100\end{cases}$ donc $\begin{cases}32m'+p'=0\\212m'+p'=100\end{cases}$.\\
En soustrayant les deux lignes, il vient :\\
$212m'-32m'=100$ donc $180m'=100$ d'où $m'=\dfrac{100}{180}=\dfrac{5}{9}$.\\
Alors : $g(x)=\dfrac{5}{9}x+p'$.\\
$g(32)=0$ équivaut à $\dfrac{5}{9}\times 32+p'=0$ donc \\
$p'=-\dfrac{160}{9}$.\\
Donc : $g(x)=\dfrac{5}{9}x-\dfrac{160}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5x-160}{9}}}$

\item %Laquelle des deux températures, 25\degre C et 75\degre F, est la plus élevée?
$f(25)=\dfrac{9}{5}\times 25+32=45+32=77$ donc \\
25 \degre C=77 \degre F.\\
25 \degre C est une température plus élevée que 75 \degre F.

\end{enumerate}

\subsection{}
On veut représenter graphiquement la fonction affine $f : x\mapsto 2x-3$.\\
Tu as vu en Troisième que la représentation graphique d'une fonction affine est une droite  (sécante à l'axe des ordonnées).\\
Pour tracer un droite, il suffit de connaitre deux points $A$ et $B$ de cette droite, de les placer dans un repère puis de tracer la droite.\\
Pour cela, choisis deux abscisses (deux valeurs de $x$) à placer dans le tableau de valeurs ci-dessous puis  calcule leurs images.
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{c|}}
\hline
$x$&0&2\\
\hline
$f(x)=2x-3$&-3&1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-7)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-7)(5,7)
\pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=3](0,-3){A}(2,1){B}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{5}{2*x-3}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{}
Les fonctions $f$ et $g$ sont définies pour tout réel $x$ par $f(x) = x - 2$ et $g(x) = -2x + 3$. 


\begin{enumerate}
\item Représentons dans un même repère les fonctions $f$ et $g$. \\
On calcule les coordonnées de deux points pour chacune des droites représentatives des fonctions :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*3{c|}}
\hline
$x$&0&2\\
\hline
$f(x)=x-2$&-2&0\\
\hline
$g(x)=-2x+3$&3&-1\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-7)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-7)(5,7)
\pstGeonode[PointSymbol=x,dotscale=3](0,-2){A}(2,0){B}(0,3){C}(2,-1){D}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-2}{5}{x-2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{5}{-2*x+3}
\end{pspicture}

\end{center}


\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la valeur exacte du réel $a$ qui a la même image par $f$ et par $g$, puis calculer $f(a)$. 
$a$ doit être solution de l'équation \\
$f(x)=g(x)$, donc de l'équation \\
$x-2=-2x+3$.\\
Alors : $x+2x=3+2$ donc $3x=5$ d'où $x=\dfrac{5}{3}$.\\
Le réel $a$ qui a la même image par $f$ et par $g$ est $\boxed{\textcolor{red}{a=\dfrac{5}{3}}}$.

\item %Comment peut-on vérifier ce résultat graphiquement ?
Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}