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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les vecteurs}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Que veut dire que  deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires ?

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est représenté sur le graphique ci-dessous.\\
Représenter $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$ et $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(9,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,4)(3,4)
\uput[u](1,4){$\overrightarrow{u}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient A(7~;~-3), B(-2~;~3), C(9~;~-1) et D(6~;~1).
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?\\
Si oui, déterminer la valeur du réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.

\item Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-3~;~2), B(2 ~;~1), C(4 ~;~6) et D(-1~;~7). 

\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

\item Déterminer l'aire de ce parallélogramme.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère, on considère les points $A(-7,-1)$, $B(-2~;~1)$ et $C(23~;~11)$.\\
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

%\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Dans un repère orthonormé, on considère les points :\\
%$A(11~;~0)$, $B(13~;~3)$, $C(19~;~-1)$ et $D(17~;~-4)$.
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
%
%\item Montrer que $ABCD$ est un rectangle.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Dans un repère, on considère $M(1~;~0)$, $N(9,0)$, $P(7~;~3)$ et $Q(-2~;~3)$.
On admet que $MNPQ$ est un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que \\
$\overrightarrow{QR} =\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que \\
$\overrightarrow{MS}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$.

\begin{enumerate}[1)]

\item Montrer que $S$ a pour coordonnées $S(5~;~-4)$.

\item Compléter la figure ci-dessous en plaçant les points $R$ et $S$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,4)
\psdots(1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)(5,-4)
\uput[d](1,0){M}
\uput[ur](9,0){N}
\uput[u](6,3){P}
\uput[u](-2,3){Q}
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(10,4)
\end{pspicture}

\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$, montrer que \[\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}.\]

\item Écrire le vecteur $\overrightarrow{NS}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{MS}$.

\item En déduire que \[\overrightarrow{NS}=-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}.\]

\end{enumerate}


\item En déduire une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$   .

\end{enumerate}


\end{multicols}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\newpage

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle sur les vecteurs}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Que veut dire que  deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires ?

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est représenté sur le graphique ci-dessous.\\
Représenter $\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}$ et $-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}$
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(9,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,4)(5,4)
\uput[u](2,4){$\overrightarrow{u}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient A(6~;~-2), B(-3~;~4), C(8~;~0) et D(5~;~2).
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

\item Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?\\
Si oui, déterminer la valeur du réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.

\item Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2~;~0), B(3 ~;~-1), C(5 ~;~4) et D(0~;~5). 

\begin{enumerate}[1)]
\item Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

\item Déterminer l'aire de ce parallélogramme.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Dans un repère, on considère les points $A(-8,-3)$, $B(-3~;~-1)$ et $C(22~;~9)$.\\
Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?

%\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Dans un repère orthonormé, on considère les points :\\
%$A(10~;~0)$, $B(12~;~3)$, $C(18~;~-1)$ et $D(16~;~-4)$.
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
%
%\item Montrer que $ABCD$ est un rectangle.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}

Dans un repère, on considère $M(1~;~0)$, $N(9,0)$, $P(7~;~3)$ et $Q(-2~;~3)$.
On admet que $MNPQ$ est un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que \\
$\overrightarrow{QR} =\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que \\
$\overrightarrow{MS}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$.

\begin{enumerate}[1)]

\item Montrer que $S$ a pour coordonnées $S(5~;~-4)$.

\item Compléter la figure ci-dessous en plaçant les points $R$ et $S$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,4)
\psdots(1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)(5,-4)
\uput[d](1,0){M}
\uput[ur](9,0){N}
\uput[u](6,3){P}
\uput[u](-2,3){Q}
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(10,4)
\end{pspicture}


\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$, montrer que \[\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}.\]

\item Écrire le vecteur $\overrightarrow{NS}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{MS}$.

\item En déduire que \[\overrightarrow{NS}=-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}.\]

\end{enumerate}


\item En déduire une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$   .

\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  