<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}




\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : TD \no  18 sur les vecteurs (colinÃ©aritÃ©)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considÃ¨re les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}	-12\\8\end{pmatrix}$.\\
Sont-ils colinÃ©aires ?

\item MÃªme question avec $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{7}-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\\sqrt{7}+1\end{pmatrix}$.

\subsection{}
On considÃ¨re, dans un repÃ¨re, les points \\
$A(- 2~;~3)$, $B(2~;~1)$ et $C(4~;~0)$\\.
Les points A, B et C sont-ils alignÃ©s ?

\end{enumerate}
\subsection{}
$ABC$ est un triangle quelconque. $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$.\\

\begin{enumerate}[1)]

\item Faire une figure.

\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{IA}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BA}$

\item Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AJ}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$

\item 
\begin{enumerate}
\item ComplÃ©ter : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{I\cdots}+\overrightarrow{\cdots J}$

\item En dÃ©duire une relation entre le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ et le vecteur $\overrightarrow{BC}$.

\item Ã€ quelle propriÃ©tÃ© vue au collÃ¨ge cela vous fait-il penser ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $[AB]$ un segment. On veut construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$.\\
Montrer que cette Ã©galitÃ© se transforme en \[\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}.\\\]
Construire alors le point $D$.



\columnbreak

\subsection{\textcolor{blue}{Trois mÃ©thodes pour montrer le mÃªme rÃ©sultat}}
Soit ABCD un rectangle. Soit  E le point du segment [AB] tel que $\text{AE}=\dfrac{2}{3}\text{AB}$ et le point F du segment [BC] tel que $\text{BF} =\dfrac{1}{3}\text{BC}$.\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(7,3)
\psline(7,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psplot{-1}{8}{(-0--3*x)/7}
\psplot{-1}{8}{(-4.67--1*x)/2.33}
\begin{scriptsize}
\rput[bl](0.08,0.12){\blue{$A$}}
\rput[bl](7.08,0.12){\blue{$B$}}
\rput[bl](7.08,3.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](4.74,0.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](7.08,1.12){\darkgray{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent  \textbf{\textcolor{red}{MÃ©thode 1 : solution analytique}}
\begin{enumerate}
\item  Dans le repÃ¨re $(A~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}})$, quelles sont les coordonnÃ©es des points A, B, C, D, E, F?  

\item  DÃ©montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$ sont colinÃ©aires. Que peut-on en dÃ©duire ? 
\end{enumerate}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{MÃ©thode 2 : solution vectorielle}}\\
DÃ©montrer (Ã&nbsp; l'aide de la relation de Chasles) que $\overrightarrow{\text{EF}}= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AC}}$. (indication : faire intervenir le point B)

\noindent  Que peut-on en dÃ©duire pour les droites (EF) et (AC) ?\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{MÃ©thode 3 : utilisant les configurations}}\\
En utilisant la rÃ©ciproque du thÃ©orÃ¨me de ThalÃ¨s, dÃ©montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallÃ¨les.

\subsection{}%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-corriges-vecteurs-colinearite/
On considÃ¨re trois points $A$ , $B$  et $C$ non alignÃ©s dâ€™un repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Construire les points  $E$ et $F$ tels que :
\[\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\text{ et } \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\]

\item  On munit le plan dâ€™un nouveau repÃ¨re $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)$.
 
 \begin{enumerate}
\item DÃ©terminer les coordonnÃ©es des points  $A$, $B$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repÃ¨re.

\item Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallÃ¨les ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\end{multicols}



\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>