<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} TD\no 15 (fonction carrÃ© et fonction inverse)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Ci-dessous est reprÃ©sentÃ©e la fontion carrÃ© \\
$f : x\mapsto x^2$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-2)(3,6)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-2)(3,6)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2.449}{2.449}{x^2}
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item Tracer sur le Ã¨me graphique la droite reprÃ©sentative de la fonction affine $g : x\mapsto -\dfrac{3}{5}x+1$

\item En dÃ©duire les valeurs approchÃ©es des solutions de l'Ã©quation $x^2+\dfrac{3}{5}x-1$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Rappel : une fonction $f$ est impaire si, pour tout $x$ de son ensemble de dÃ©finition, $f(-x)=-f(x)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Soit $f : x\mapsto x+\dfrac{1}{x}$ la fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.\\
$f$ est-elle impaire ?

\item Soit $g$ dÃ©finie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ par $g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$.\\

\begin{enumerate}
\item Calculer $g(-1)$ et $g(1)$.

\item $g$ est-elle impaire ? Est-elle paire ?
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\columnbreak

\subsection{}
On va Ã©tudier les variations de la fonction inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item CommenÃ§ons par Ã©tudier les variations sur $]0~;~+\infty[$.\\
On prend deux nombres \textbf{quelconques} $a$ et $b$, avec $0&lt;a&lt;b$.\\
Il faut comparer leurs images $f(a)$ et $f(b)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(a)$ en fonction de $a$ et $f(b )$ en fonction de $b$.

\item Calculer $f(b)-f(a)$ puis mettre le rÃ©sultat au mÃªme dÃ©nominateur.

\item Ã‰tudier le signe du numÃ©rateur puis du dÃ©nominateur.

\item Quel est le signe de $f(b)-f(a)$ ?

\item ComplÃ©ter alors : $f(a)\cdots f(b)$.

\item ComplÃ©ter par \og{}conserve\fg{} ou \og{}renverse\fg{}: \\
$f$ \makebox[3cm]{\dotfill} l'ordre.\\
On en dÃ©duit que $f$ est \makebox[3cm]{\dotfill} sur $]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\item On s'intÃ©resse Ã&nbsp; l'intervalle $]-\infty~;~0[$.\\
On suppose que $a&lt;b&lt;0$.\\
Reprendre la dÃ©marche prÃ©cÃ©dente ? Qu'est-ce qui change ? Qu'en conclut-on ?

\end{enumerate}

\subsection{}
La fonction. Inverse $f : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est dÃ©croissante sur $Â°-~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{2,14}$ et $\dfrac{1}{2,15}$.

\item Comparer, sans l'aide de la calculatrice, les nombres $\dfrac{1}{-3,14}$ et $\dfrac{1}{-\pi}$
\end{enumerate}

\end{multicols}
\newpage


\subsection{}
On souhaite tracer la courbe reprÃ©sentative de la fonction inverse, qu'on appelle \textbf{hyperbole}.
\begin{enumerate}[1)]
\item ComplÃ©ter le tableau de valeurs ci-dessous :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline
x&amp;\dfrac{1}{4}&amp;\dfrac{1}{2}&amp;1&amp;2&amp;4\\
\hline
f(x)=\dfrac{1}{x}&amp;&amp;&amp;&amp;&amp;\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\item Placer les points correspondants dans le repÃ¨re ci-dessous :
\begin{center}

\psset{unit=0.8,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-7)(5,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-&gt;}(0,0)(-5,-7)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-5,-7)(5,7)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-5.0}{-0.05}{1/x}
%\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.05}{5}{1/x}
%\uput[dl](-4,-0.25){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item Relier les points le plus rÃ©guliÃ¨rement possible.

\item Puisque $f$ est impaire, la courbe $\mathscr{C}_f$ est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'origine $O$.\\
Placer les symÃ©triques des points prÃ©cÃ©dents par rapport Ã&nbsp; $O$ et les relier rÃ©guliÃ¨rement.\\
L'hyperbole, reprÃ©sentative de la fonction $ : x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est constituÃ©e de deux branches.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>