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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : AP \no 19 (vecteurs colinéaires)}}\end{center}


\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}35\\-14\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}16\\3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}48\\6\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}15\\90\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\6\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3,2\\-5,7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}7,136\\12,711\end{pmatrix}$

\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur de $x$ pour que les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ soient colinéaires.

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x\\2\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}53\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\x\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x\\6\end{pmatrix}$

\item $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\frac13\\-\frac34\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x\\9\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans chacun des cas suivants, déterminer si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles :
\begin{enumerate}[1)]
\item  $A(1~;~1)$, $B(3~;~11)$, $C(0~;~1)$ et $D(1~;~-7)$

\item $A(3~;~10)$, $B(0~;~-5)$, $C(1~;~-20)$ et $D(10~;~25)$
\end{enumerate}




\subsection{}
Dans un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, on considère les points :\\
$A(-1~;~-1)$, $B(2~;~1)$, $C(	-3,2)$ et $D(3~;~6)$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.

\item Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABDC$ ?

\item Calculer $\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert$, $\left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert$ et $\left\vert\left\vert \overrightarrow{BC} \right\vert\right\vert$.

\item En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle.

\item Comment alors qualifier le quadrilatère $ABDC$ ?
\end{enumerate}

\subsection{}
On donne les points $A(3; 4)$, $B(1~;~8)$ et $C(3~;~2)$.\\
$M$ est un point tel que $\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{MB}$ et $N$ est le milieu de $[BC]$.
Les droites $(AC)$ et $(MN)$ sont-elles parallèles ?



\label{fin}
\end{document}  