<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/8}



\title{\textcolor{red}{Fonction carrÃ©, fonction cube, fonction inverse,, fonction racine carrÃ©e}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Fonction carrÃ©}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On appelle fonction carrÃ© la fonction $x\mapsto x^2$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{17cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}

\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction carrÃ© $x\mapsto x^2$ est dÃ©finie sur $\mathbb{R}$.

\item Cette fonction est \textbf{\textcolor{red}{paire}} (pour tout $x$, f(-x)=f(x)), donc la courbe reprÃ©sentative est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es $(Oy)$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

Justification :\\
En effet, on peut calculer $x^{2}$ pour n'importe quelle valeur de $x\in\mathbb{R}$.\\
et pout tout $x$, $f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
$f:x\mapsto x^2$ est dÃ©croissante sur $]-\infty~;~0]$ et croissante sur $[0~;~+\infty[$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textcolor{red}{\textbf{DÃ©monstration} :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux rÃ©els $x_1$ et $x_2$ quelconques de $[0~;~+\infty[$ avec $0\leqslant x_1&lt;x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=x_1^2$ et $f\left(x_2\right)=x_2^2$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=x_2^2-x_1^2=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{&gt; 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{&gt; 0}$ donc $f\left(x_{1}\right)&lt; f\left(x_{2}\right)$.\\
En effet, $x_2+x_1&gt; 0$ comme somme de nombres positifs et $x_2-x_1&gt; 0$ car on a supposÃ© $x_1&lt;x_2$.\\
Les images sont classÃ©es dans \textbf{\textcolor{blue}{le mÃªme ordre}} que les antÃ©cÃ©dents, donc $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0]$ : soient deux rÃ©els $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0]$ avec $x_1&lt;x_2\leqslant 0$.\\
On a le mÃªme calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\underbrace{\left(x_2+x_1\right)}_{&lt; 0}\times \underbrace{\left(x_2-x_1\right)}_{&gt; 0}&lt; 0$ $\left(x_1+x_2&lt; 0\right) \text{car les deux nombres sont nÃ©gatifs}$.\\
Les images cette fois sont classÃ©es dans l'ordre inverse des antÃ©cÃ©dents : la fonction est dÃ©croissante.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la paritÃ© de la fonction et la symÃ©trie de la courbe par rapport l'axe des ordonnÃ©es.
\end{enumerate}
\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;0&amp;&amp;\pI\\
\filet
\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;0&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\end{variations}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe reprÃ©sentative}}
Pour tracer la courbe, on calcule des coordonnÃ©es de points (il en faut plus que deux, puisque la courbe n'est pas une droite). Comme la courbe est symÃ©trique, on se limite Ã&nbsp; des points dont les abscisses sont des valeurs positives et on construit ensuite les points symÃ©triques par rapport Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es.

En gÃ©nÃ©ral, on prend ces cinq valeurs positives :
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{center}
$\begin{array}{|*{6}{l|}}\hline
x&amp;0&amp;\dfrac{1}{2}&amp;1&amp;2&amp;3\\
\hline
f(x)=x^{2}&amp;0&amp;\dfrac{1}{4}&amp;1&amp;4&amp;9\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

On place ces points, puis leurs symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'axe des ordonnÃ©es.

\newpage


\noindent La courbe reprÃ©sentative de la fonction carrÃ© est appelÃ©e \textbf{\textcolor{red}{parabole}}. il faut la tracer la plus rÃ©guliÃ¨re possible.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt,linecolor=blue]{-&gt;}(0,0)(-3.2,-1)(3.2,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3.2,-1)(3.2,10)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.1}{3.1}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)(-0.5,0.25)(-1,1)(-2,4)(-3,9)
\uput[r](2,4){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les carrÃ©s des nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $0,2^2$ et $0,21^2$

\item $(-2,4)^2$ et $(-2,41)^2$

\item $(-3,1)^2$ et $4,2^2$
\end{enumerate}
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,21 sont positifs ; sur $[0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto x^2$ est croissante.\\
$0,2&lt;0,21$ donc $f(0,2)&lt;f(0,21)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{0,2^2&lt;0,21^2}}$

\item -2,4 et -2,41 sont nÃ©gatifs ; sur $]-\infty~;~0]$, $f$ est dÃ©croissante.\\
$-2,4&gt;-2,41$ ; comme $f$ est dÃ©croissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-2,4)^2&lt;-2,41^2}}$.

\item $(-3,1)^2=3,1^2$ donc il suffit de comparer $3,1^2$ et $4,2^2$.\\
3,1 et 4,2 sont positifs et $3,1&lt;4,2$ ; sur $[0~;~+\infty[$, $f$ est croissante, donc $3,1^2&lt;4,2^2$, d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{(-3,1)^2&lt;4,2^2}}$
\end{enumerate}

\newpage


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice}} : rÃ©soudre graphiquement l'Ã©quation $x^{2}=3x+2$.\\
On pose $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=3x+2$. 

On trace les courbes reprÃ©sentatives de ces fonctions. Les solutions Ã©ventuelles de cette Ã©quation sont les abscisses  des points d'intersubsection de ces deux courbes.

Puisqu'il s'agit d'une lecture graphique, les valeurs trouvÃ©es sont des valeurs approchÃ©es des solutions. la mÃ©thode pour trouver les valeurs exactes sera vue en PremiÃ¨re.

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-5,-2)(5,16)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](0,0)(-5,-1)(5,16)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{-&gt;}(0,0)(-5,-2)(5,16)
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red,plotpoints=200,linewidth=2pt]{-5.0}{5.0}{x^2}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-5.0}{5.0}{3*x+2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-0.56,0.32)
\psline[linestyle=dashed](-0.56,0.32)(-0.56,0)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](3.56,12.68)
\psline[linestyle=dashed](3.56,12.68)(3.56,0)
\uput[d](-0.56,0){$x_{1}$}
\uput[d](3.56,0){$x_{2}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
On trouve deux solutions : $x_{1}\approx -0,5$ et $x_{2}\approx 3,6$




\subsection{\textcolor{red}{Fonction inverse}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On appelle fonction inverse la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}

\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est dÃ©finie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty~;~0[\cup]0~;~+\infty[$.

\item La fonction inverse $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est \textbf{\textcolor{red}{impaire}}, c'est-Ã&nbsp;-dire $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\neq 0$.\\
La courbe reprÃ©sentative de $f$ est donc symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; O.

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est dÃ©finie sur $\mathbb{R^*}$ et $\mathbb{R^*}$ est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R^*}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
$f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est dÃ©croissante sur $]-\infty~;~0]$ et dÃ©croissante sur $[0~;~+\infty[$.

\danger : attention, on ne peut parler de variation que sur un intervalle ; il est faux de dire que $f$ est dÃ©croissante sur $\mathbb{R}^*$ : par exemple : $-2&lt;2$ ~;~ $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$ donc $f(-2)&lt;(2)$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textcolor{red}{DÃ©monstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux rÃ©els $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0&lt; x_1&lt;x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_{1}}$ et $f\left(x_2\right)=\dfrac{1}{x_{2}}$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2&lt;0$ car $x_1&lt;x_2$ ; $x_1x_2&gt;0$ comme produit de nombres positifs.
Les images sont classÃ©es dans l'ordre inverse des antÃ©cÃ©dents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{dÃ©croissante}} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0[$ : soient deux rÃ©els $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0[$ avec $\leqslant x_1&lt;x_2&lt;0$.\\
On a le mÃªme calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2&lt;0$ car $x_1&lt;x_2$ ; $x_1x_2&gt;0$ comme produit de nombres nÃ©gatifs.
Les images sont classÃ©es dans l'ordre inverse des antÃ©cÃ©dents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{dÃ©croissante}} sur $]-\infty~;~0[$.\\


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la  symÃ©trie de la courbe par rapport Ã&nbsp; $O$.
\end{enumerate}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
0 est une \textbf{\textcolor{red}{valeur interdite}}, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;&amp;0&amp;&amp;&amp;\pI\\
\filet
\m{f(x)}&amp;\h{0}&amp;\d&amp;\mI&amp;\bb&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;0\\
\end{variations}
\end{center}


\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Courbe reprÃ©sentative}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tracer la courbe, on  trace la partie correspondant Ã&nbsp; des abscisses positives en calculant les coordonnÃ©es de quelques points.\\
On ne calcule que les coordonnÃ©es correspondant Ã&nbsp; des abscisses positives, sin place les points correspondants puis on complÃ¨te par  symÃ©trie pr rapport Ã&nbsp; l'origine.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{&gt;{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&amp;$\dfrac{1}{4}$&amp;$\dfrac{1}{2}$&amp;1&amp;2&amp;4\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&amp;4&amp;2&amp;1&amp;$\dfrac{1}{2}$&amp;$\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La courbe reprÃ©sentative de la fonction inverse est appelÃ©e \textbf{\textcolor{red}{hyperbole}}.\\
Elle est constituÃ©e de deux branches (\textbf{\textcolor{red}{symÃ©triques}} par rapport Ã&nbsp; l'origine O).


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=2pt]{-&gt;}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](.25,4)(.5,2)(1,1)(2,.5)(4,.25)(-.25,-4)(-.5,-2)(-1,-1)(-2,-.5)(-4,-.25)
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}




\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Application}}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exercice :}} comparer les  nombres suivants : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{1}{0,2}$ et $\dfrac{1}{0,3}$

\item $-\dfrac{1}{2,4}$ et $-\dfrac{1}{2,5}$

\item $-\dfrac{1}{3,1}$ et $\dfrac{1}{4,2}$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Solution :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item 0,2 et 0,3 sont positifs ; sur $]0~;~+\infty[$, la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est dÃ©croissante.\\
$0,2&lt;0,3$ donc $f(0,2)&gt;f(0,3)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{0,2}&gt;\dfrac{1}{0,3}}}$

\item -2,4 et -2,5 sont nÃ©gatifs ; sur $]-\infty~;~0[$, $f$ est dÃ©croissante.\\
$-2,4&gt;-2,5$ ; comme $f$ est dÃ©croissante, $f$ renverse l'ordre, donc $\boxed{\textcolor{red}{(-\dfrac{1}{2,4})&lt;-\dfrac{1}{2,5}}}$.

\item $-3,1&lt;0$ et $4,2&gt;0$ donc $-\dfrac{1}{3,1}&lt;0$ et $\dfrac{1}{4,2}&gt;0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{3,1}&lt;\dfrac{1}{4,2}}}$.

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : ici, on ne pouvait pas utiliser les variations de la fonction inverse, car les nombres -3,1 et 4,2 ne sont par dans les mÃªmes intervalles de dÃ©finition de la fonction inverse.
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{red}{Fonction cube}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On appelle fonction cube la fonction $f:x\mapsto x^3$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est dÃ©finie sur $\mathbb{R}$

\item Elle est \textbf{\textcolor{red}{impaire}} (f(-x)=-f(x) pour tout $x$) (donc sa courbe reprÃ©sentative est symÃ©trique par rapport Ã&nbsp; l'origine O)

\item Elle est croissante sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;0&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\mI&amp;\cb&amp;\m{0}&amp;\ch&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-10.5)(2,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{-&gt;}(0,0)(-2.2,-9)(2.2,9)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2.2,-9)(2.2,9)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{x^3}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](0,-9){Courbe reprÃ©sentative de la fonction $x\mapsto x^3$}
\end{pspicture*}
\end{center}



\newpage



\subsection{\textcolor{red}{Fonction racine carrÃ©e}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
On appelle fonction racine carrÃ©e la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$ (car on ne peut calculer la racine carrÃ©e que d'un nombre positif)

\item Elle est croissante sur $[0~;~+\infty[$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;0&amp;&amp;\pI\\
\hline
\m{f(x)}&amp;0&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration de la croissance }}:
Soient deux nombfres $x_1$ et $x_2$ quelconques, vÃ©rifiant $0\leqslant x_1&lt;x_2$ (donc $x_2-x_1&gt;0$)\\
On doit comparer $f\left(x_1\right)$ et $f\left(x_2\right)$ en Ã©tudiant le signe de la diffÃ©rence $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\dfrac{\left(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\right)\times \textcolor{red}{\left(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\right)}}{\textcolor{red}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}=\dfrac{\sqrt{x_2}^2-\sqrt{x_1}^2}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$.\\
Le numÃ©rateur est positif car $x_1&lt;x_2$.\\
Le dÃ©nominateur $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ est positif comme somme de deux nombres positifs.\\
Par consÃ©quent : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)&gt;0$ d'oÃ¹ $f\left(x_1\right)&lt;f\left(x_1\right)$.\\
`$f$ respecte l'ordre donc $f$ est croissante.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Courbe reprÃ©sentative}} :

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(17,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{-&gt;}(0,0)(-1,-1)(17,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-1,-1)(17,4)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{16}{sqrt(x)}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}
</pre></body></html>