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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/5}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Droites et systèmes d'équations}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{blue}{Équation cartésienne d'une droite}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Vecteur directeur d'une droite}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Soient $\overrightarrow{u}$ un vecteur non nul et soit $A$ un point.\\
L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires est une droite qui passe par $A$.\\
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{vecteur directeur}} de cette droite
\end{bclogo}

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(10,4)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0]()()
\pstGeonode[PosAngle=-90](4,2){A}
\pstGeonode[PosAngle=-90](8,3){M}
\pstLineAB[nodesep=-4]{A}{M}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,1.25)(2,1.5)
\uput[u](1.5,1.25){\textcolor{red}{$\overrightarrow{u}$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ et une droite $d'$ de vecteur directeur $\overrightarrow{v}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Les vecteurs directeur de $d$ sont les veccteurs colinéaires à $\overrightarrow{u}$.

\item Les droites $d$ et $d'$ sont parallèles si, et seulement si,  $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\newpage


\subsubsection{ \textcolor{red}{Équation cartésienne de droite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et déﬁnition}}
Soient $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que l’un au moins des nombres $a$ et $b$ est non nul.\\
L’ensemble des points $M(x~;~y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $ax + by + c = 0$ est une droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.\\
L’équation $ax + by + c = 0$ est appelée une \textbf{\textcolor{blue}{équation cartésienne}} de la droite $d$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : soit l'équation cartésienne $3x-2y-1=0$.
C'est une droite $\mathscr{D}$.\\
Pour $x=-1$, on trouve $2y=3x-1=3\times (-1)-1=-4$ donc $y=-2$.\\
$\mathscr{D}$ passe par $A(-1~;~-2)$.\\
L'équation est de la forme $ax+by+c=0$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-2\\c=-1\end{cases}$.\\
Un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ donc $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}.$.\\
Représentons cette droite :

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-3)(4,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-3)(4,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-2,-3)(4,6)
\psdots(-1,-2)
\uput[u](-1,-2){A}
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue]{-2}{3.5}{(3*x-1)/2}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(0,-0.5)(2,2.5)
\uput[d](3,5){$\mathscr{D}$}
\uput[u](1,1){$\overrightarrow{u}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que l’un au moins des nombres $a$ et $b$ est non nul.\\
Toute droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + c = 0$, avec $c\in\mathbb{R}$
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice}} : trouver une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(1~;~5)$ et $B(5,-2)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}$.

\item $M\in(AB)$si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.\\
$M$ a pour coordonnées $(x~;~y)$.\\
On doit avoir $\det\left(\overrightarrow{AB}~;~A\overrightarrow{LM}\right)=0$.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-7\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-1\\y-5\end{pmatrix}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AM}\right)=0\Leftrightarrow \left|\begin{array}{cc}4&x-1\\-7&y-5\end{array}\right|=0\Leftrightarrow 4(y-5)-(-7)(x-1)=0\Leftrightarrow 4y-20+7x-7=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{7x+4y-27=0}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation réduite d'une droite}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Droite parallèle à l'axe des ordonnées}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $d$ une droite parallèle à l'axe des ordonnées.\\
L'équation cartésienne de $d$ peut se mettre sous la forme $x=k$, où $k\in\mathbb{R}$.
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item tous les points de la droite $d$ ont une abscisse égale à $k$ et tous les points d'abscisse $k$ appartient à 
$d$.

\item Une telle droite (parallèle à l'axe des ordonnées) ne représente pas une fonction.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Droite sécante à l'axe des ordonnées} }
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété et définition}}
Soit $d$ une droite sécante à l'axe des ordonnées.\\
L'équation cartésienne de la droite $d$ peut s'écrire sous la forme $y=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux réels.\\
On dit que $y=mx+p$ est \textbf{\textcolor{red}{l'équation réduite}} de la droite $d$.\\
Remarque : un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\m\end{pmatrix}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : c'est l'expression d'une fonction affine.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : si $A\left(x_A~;~y_A\right)$ et $B\left(x_B~;~y_B\right)$ sont deux points distincts de la droite, on a : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ et $m$ s'appelle le coefficient directeur.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Deux droites de coefficients directeurs $m$ et $m'$ sont parallèles si, et seulement si, $m=m'$.
\end{bclogo}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Systèmes d'équations linéaires} }


\subsubsection{\textcolor{red}{Systèmes de deux équations linéaires à deux onconnues}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues peut d'écrire sous la forme :\\
$\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\\\end{cases}$ où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$ et $c'$ sont des réels donnés.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition }}
Une solution d'un tel système est un couple $(x~;~y)$ pour lesquelles les deux équations sont vraies simultanément.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Résoudre un système consiste à trouver tous les couples $(x~;~y)$ solutions du système.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{Lien avec les droites}}
$ax+by=c\Leftrightarrow ax+by-c=0$ qui est l'équation cartésienne d'une droite.\\
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues est donc le système formé par deux équations cartésienne de droites.\\
Un couple $(x~;~y)$ est solution du système si, et seulement si, (x~;~y) sont les coordonnées d'un point appartenant aux deux droites \textbf{\textcolor{red}{simultanément}}.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Trois cas sont possibles :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item les deux droites sont sécantes ; elles n'ont qu'un point d'intersection et le système n'a qu'un couple solution.

\item les deux droites sont strictement parallèles, donc n'ont aucun point d'intersection : le système n'a aucune solution.

\item les deux droites sont confondues : le système a une infinité de couples solutions.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}

\begin{enumerate}
\item Soit le système : $\begin{cases}3x-2y=5~\left(E_1\right)\\5x+3y=13~\left(E_2\right)\end{cases}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'équation $\left(E_1\right)$ s'écrit : $3x-2y-5=0$ qui est l'équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.

\item L'équation $\left(E_1\right)$ s'écrit : $5x+3y-13=0$ qui est l'équation cartésienne d'une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$.

\item $\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=-10+9=-1\neq 0$.\\
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites sont sécantes ; le système n'a qu'une solution (on verra dans le paragraphe suivant comment résoudre ce système).

\item $\begin{cases}3x-2y=5\\6x-4y=1\end{cases}$.\\
Les vecteurs directeurs des deux droites correspondantes sont colinéaires (cordonnées proportionnelles) ; $6=2\times 3$ et $-4=2\times 2$ donc les droites sont parallèles.\\
$2\times 5\neq 1$ donc les droites sont strictement parallèles (équations \textbf{\textcolor{red}{incompatibles}})

\item Soit le système $\begin{cases}5x-2y=7\\15x-6y=21\end{cases}$.\\
Les vecteurs directeurs des deux droites sont $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\15\end{pmatrix}$, clairement colinéaires, car $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{u}$.\\
Les droites sont parallèles ; de plus, les équations sont proportionnelles, donc on a en fait deux fois la même équation.\\
Les deux droites sont confondues : il y a une infinité de couples solutions, correspondant aux coordonnées des points de la droite.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Méthode de résolution par substitution}}
On considère un système de deux équations linéaires à deux inconnues.\\
Il s'agit, à partir d'une des deux équations, d'exprimer une des inconnues en fonction de l'autre et de remplacer (\textbf{\textcolor{red}{substituer}}) par cette expression dans l'autre équation.\\
Cela n'a d'intérêt que si l'expression d'une inconnue en fonction de l'autre, est facile (pas de fraction).

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}} \\
Résoudre : $\begin{cases}3x+y=19~\left(E_1\right)\\2x-5y=7~\left(E_2\right)\end{cases}$.\\
On voit que $\left(E_1\right)$ équivaut à $y=19-3x$.\\`
On remplace $y$ par $19-2x$ dans $\left(E_2\right)$ :\\
$2x-5\left(19-3x\right)=7\Leftrightarrow 2x-95+15x=7\Leftrightarrow 17x-95=7\Leftrightarrow 17x=102\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=6}}$.\\
Or $y=19-3x$ donc $y=19-3\times 6=1$.\\
Le couple solution est (6~;~1) : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(6~;~1)\}}}$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Méthode de résolution par combinaison ou élimination}}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :\\


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Reprenons le système : $\begin{cases}3x-2y=5~\left(E_1\right)\\5x+3y=13~\left(E_2\right)\end{cases}$.\\
On multiplie les termes de chacune des équations par un nombre pour obtenir le même coefficient pour $x$ ou $y$.\\
On additionne ou on soustrait alors les deux équations pour faire disparaître l'inconnue ayant le même coefficient.
\bigskip

 Multiplions la première équation par 3 et la deuxième par 2 ; on obtient :\\
$ \begin{cases}9x-6y=15~\left(E'_1\right)\\10x+6y=26~\left(E'_2\right)\end{cases}$.\\
 On additionne :\\
 On obtient : $19x=41$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{x=\dfrac{41}{19}}}$.\\
 Pour trouver $y$, ont remplace $x$ par $\dfrac{41}{19}$ dans une des équations initiales :\\
 $3x-2y=5\Leftrightarrow 3\times \dfrac{41}{19}-2y=5\Leftrightarrow \dfrac{123}{19}-5=2y\\
 \Leftrightarrow \dfrac{28}{19}=2y\Leftrightarrow y=\dfrac{14}{19}$.\\
\begin{center}
 $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(\dfrac{41}{19}~;~\dfrac{14}{19}\right)\right\}}}$.
\end{center}
\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  