\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}
\section*{\textcolor{red}{Correction du contrôle sur les ensembles de nombres}}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Il faut écrire ton nom en capitales d'imprimerie pour qu'il soit lisible !!!


\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 point)}}
C'est du cours ! Une définition s'apprend pas cœur !

\begin{enumerate}
\item %Donner la définition :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Un nombre décimal est un nombre qui peut d'écrire avec un nombre fini de chiffres à droite de la virgule ou le quotient d'un entier par une puissance de 10.

\item Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deux entiers décimaux.
\end{enumerate}

\item %Donner un  nombre réel qui n'est pas un nombre rationnel.
$\pi$ est un nombre irrationnel, donc un réel qui n'est pas un rationnel.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
%Indiquer, dans chacun des cas, si le nombre appartient ou pas à chacun des ensembles proposés.
Il faut justifier les réponses !
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
$\begin{array}{|*{6}{c|}}\hline
&\mathbb{N}&\mathbb{Z}&\mathbb{D}&\mathbb{Q}&\mathbb{R}\\
\hline
7&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{24}{6}=4&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
5\times 10^{-3}=\dfrac{5}{10^3}=0,005&\notin&\notin&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{33}{7}&\notin&\notin&\notin&\in&\in\\
\hline
\pi&&\notin&\notin&\notin&\in\\
\hline
-\dfrac{16}{4}=-4&\notin&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\dfrac{5}{7}&\notin&\notin&\notin&\in&\in\\
\hline
\sqrt{121}=11&\in&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\sqrt{1,44}=1,2&\notin&\notin&\in&\in&\in\\
\hline
-\sqrt{36}=-6&\notin&\in&\in&\in&\in\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : on a les inclusions $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ donc, si un nombre appartient à un des ensembles, il appartient à tous les ensembles qui contiennent cet ensemble !

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
%Dans chacun des cas, indiquer le plus petit ensemble de nombres auquel le nombre appartient.

\begin{enumerate}[a)]
\item $9\in\mathbb{N}$

\item $\dfrac{15}{7}\in\mathbb{Q}$

\item $-3\in\mathbb{Z}$

\item $\sqrt{2}\in\mathbb{R}$

\item $\dfrac{24}{15}=\dfrac{3\times 8}{2\times 5}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}\in\mathbb{D}$
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Compléter par le symbole correct parmi  $\in$, $\notin$, $\subset$, $\not\subset$ :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $234\in \mathbb{N}$

\item $\dfrac{9}{3}\in\mathbb{N}$ car $\dfrac{9}{3}=3$

\item $-7\notin\mathbb{N}$ (entier négatif)

\item $\{13\}\subset\mathbb{Z}$ (l'ensemble constitué du nombre 13 est inclus dans l'ensemble des nombres entiers relatifs)

\item $3,5\notin\mathbb{N}$

\item $\left\{\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{3}\right\}\not\subset\mathbb{D}$ car $\dfrac{7}{3}$ n'est pas un nombre décimal, donc l'ensemble formé par ces deux nombres n'est pas inclus dans l'ensemble des nombres décimaux.

\item $27\in\mathbb{Z}$

\item $\dfrac{11}{3}\in\mathbb{Q}$

\item $\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$

\item $\{35\}\subset{Z}$
\end{enumerate}

\end{multicols}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
 Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (\textbf{justifier} !):



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item Tout nombre réel est un nombre rationnel.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $\pi$ est réel mais pas rationnel

\item 0,5 est un nombre rationnel.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} car $0,5=\dfrac{1}{2}$ ou 0,5 est un nombre décimal donc un nombre rationnel.

\item Le carré d’un nombre irrationnel n’est jamais rationnel.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $\sqrt{2}^2=2\in\mathbb{Q}$.

\item Il n’existe aucun nombre réel qui ne soit pas un nombre décimal.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $\pi$ est réel mais pas décimal.

\item Le quotient de deux nombres décimaux non nuls est également un nombre décimal.\\
\textbf{\textcolor{red}{FAUX}} : par exemple, $0,2\in\mathbb{D}$, $0,3\in\mathbb{D}$ mais \\
$\dfrac{0,2}{0,3}=\dfrac{2}{3}\notin \mathbb{D}$

\item L’inverse d’un nombre décimal peut être un nombre entier.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : par exemple, $\dfrac{1}{0,1}=10\in\mathbb{N}$

\item Il existe deux nombres rationnels dont la somme est un nombre entier.\\
\textbf{\textcolor{red}{VRAI}} : $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\in\mathbb{N}$ ou $1+1=2\in\mathbb{N}$

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\begin{enumerate}
\item Soient $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{d}$ deux nombres rationnels.
\begin{enumerate}
\item %Que vaut $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$.
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{ad+bc}{bd}}}$ (en mettant les deux fractions au même dénominateur)

\item %En déduire que la somme de deux nombres rationnels est un nombre rationnel.
$ad+bc$ et $bd$ sont des entiers relatifs, donc $\dfrac{ad+bc}{bd}$ est un nombre rationnel ; la somme de deux nombres rationnels est donc un nombre rationnel.
\end{enumerate}

\item Indiquer le plus petit ensemble auquel appartient chaque nombre :
\begin{enumerate}[a)]
\item $\dfrac{\pi+3}{\pi+5}\in\mathbb{R}$ (on ne peut pas simplifier par $\pi$)

\item $\dfrac{3\pi}{5\pi}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=0,6$ en simplifiant par $\pi$ donc $\dfrac{3\pi}{5\pi}\in\mathbb{D}$

\item $\sqrt{\dfrac{64}{25}}=\sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2}=\dfrac{8}{5}=\dfrac{16}{10}=1,6\in\mathbb{D}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  