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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les vecteurs (sujet A}}\end{center}





\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Que veut dire que  deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires ?
C'est du cours : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires s'il existe $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est représenté sur le graphique ci-dessous.\\
Représenter $\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$ et $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(9,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,4)(3,4)
\uput[u](1,4){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(-1,2)(5,2)
\uput[u](2,2){$\dfrac{3}{2}\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(4,0)(2,0)
\uput[u](3,0){$-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient A(7~;~-3), B(-2~;~3), C(9~;~-1) et D(6~;~1).
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2-7=-9\\3-(-3)=6\end{pmatrix}B$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-9\\6\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}6-9=-3\\1-(-1)=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}}$

\end{enumerate}

\item %Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?\\
%Si oui, déterminer la valeur du réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.
$-9=3\times (-3)$ et $6=3\times 2$ donc $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CD}$ ; ces deux vecteurs sont  colinéaires.

\item %Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
On en déduit que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-3~;~2), B(2 ~;~1), C(4 ~;~6) et D(-1~;~7). 

\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-3)=5\\1-2=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}4-(-1)=5\\6-7=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont les mêmes coordonnées donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\item %Déterminer l'aire de ce parallélogramme.
L'aire de $ABCD$ est $\mathscr{A}(ABCD)=\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right)$.\\
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-1-(3)=2\\7-2=5\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}}$\\
Alors : $\mathscr{A}(ABCD)=\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right)=\begin{vmatrix}5&2\\-1&5\end{vmatrix}=5\times 5-(-1)\times 2=25+2=27$.\\
L'aire du parallèle vaut 27.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère, on considère les points $A(-7,-1)$, $B(-2~;~1)$ et $C(23~;~11)$.\\
%Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2-(-7)=5\\1-(-1)=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}23-(-7)=30\\11-(-1)=12\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}30\\12\end{pmatrix}}}$

\item IL est clair que $\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.\\
$A$, $B$ et $C$ sont alignés.

\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Dans une repère orthonormé, on considère les points :\\
%$A(11~;~0)$, $B(13~;~3)$, $C(19~;~-1)$ et $D(17~;~-4)$.
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
%
%\item Montrer que $ABCD$ est un rectangle.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}

$MNPQ$ est un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que $\overrightarrow{QR} =\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que \\
$\overrightarrow{MS}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$.

\begin{enumerate}[1)]

\item %Montrer que $S$ a pour coordonnées $S(5~;~4)$.
Notons $x_S$ et $y_S$ les coordonnées de $S$.\\
$\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ donc $-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$.\\
$MS=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$ équivaut à $\begin{cases}x_S-1=4\\y_S-0=-4\end{cases}$ donc $\begin{cases}x_S=4+1=5\\y_S=-4\end{cases}$. Les coordonnées de $S$ sont $S(5~;~-4)$

\item Compléter la figure ci-dessous en plaçant les points $R$ et $S$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,4)
\uput[d](1,0){M}
\uput[ur](9,0){N}
\uput[u](6,3){P}
\uput[u](-2,3){Q}
\uput[r](5,-4){S}
\uput[u](4,3){R}
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)(5,-4)(4,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(10,4)
\psline{->}(1,0)(5,-4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,0)(4,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(5,-4)(9,0)
\end{pspicture}

\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$, montrer que \[\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}.\]
D'après la relation de Chasles, on a : \\
$\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$\\
Alors : $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{QP}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}}}$ car $MNPQ$ étant un parallèlogramme, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

\item %Écrire le vecteur $\overrightarrow{NS}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{MS}$.
D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MS}$.

\item %En déduire que \[\overrightarrow{NS}=-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}.\]
On en déduit : $\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{NM}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}=\boxed{\textcolor{red}{-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}}}$

\end{enumerate}


\item %En déduire une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$.
Alors : $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{MN}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\right)=-\dfrac{3}{4}
\left(-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\right)=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{NS}$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MR}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{NS}}}$
\end{enumerate}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{subsection}{0}

\newpage

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les vecteurs (sujet B}}\end{center}



\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Que veut dire que  deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires ?
C'est du cours : $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$  non nuls sont colinéaires s'il existe $k\neq 0$ tel que $\overrightarrow{v}=k\overrightarrow{u}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Le vecteur $\overrightarrow{u}$ est représenté sur le graphique ci-dessous.\\
Représenter $\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}$ et $-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}$
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(9,5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(9,5)
\psline[linewidth=2pt]{->}(-1,4)(5,4)
\uput[u](2,4){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(-1,2)(7,2)
\uput[u](3,2){$\dfrac{4}{3}\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(4,0)(2,0)
\uput[u](3,0){$-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{u}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soient A(6~;~-2), B(-3~;~4), C(8~;~0) et D(5~;~2).
\begin{enumerate}
\item %Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-6=-9\\4-(-2)=6\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-9\\6\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}5-8=-3\\2-0=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}}$

\end{enumerate}

\item %Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont-ils colinéaires ?\\
%Si oui, déterminer la valeur du réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD}$.
$-9=3\times (-3)$ et $6=3\times 2$ donc $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CD}$ ; ces deux vecteurs sont  colinéaires.

\item %Que peut-on dire des droites $(AB)$ et $(CD)$ ?
On en déduit que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(-2~;~0), B(3 ~;~-1), C(5 ~;~4) et D(0~;~5). 


\begin{enumerate}[1)]


\item 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-(-2)=5\\-1-0=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5-0=5\\4-5=-1\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DC}\begin{pmatrix}5\\-1\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ ont les mêmes coordonnées donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ; $ABCD$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}

\item %Déterminer l'aire de ce parallélogramme.
L'aire de $ABCD$ est $\mathscr{A}(ABCD)=\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right)$.\\
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0-(-2)=2\\5-0=5\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}}$\\
Alors : $\mathscr{A}(ABCD)=\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AD}\right)=\begin{vmatrix}5&2\\-1&5\end{vmatrix}=5\times 5-(-1)\times 2=25+2=27$.\\
L'aire du parallèle vaut 27.

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Dans un repère, on considère les points $A(-8,-3)$, $B(-3~;~-1)$ et $C(22~;~9)$.\\
%Les points $A$, $B$ et $C$ sont-ils alignés ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3-(-8)=5\\-1-(-3)=2\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}}$

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}22-(-8)=30\\9-(-3)=12\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}30\\12\end{pmatrix}}}$

\item IL est clair que $\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.\\
$A$, $B$ et $C$ sont alignés.

\end{enumerate}


%\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
%Dans une repère orthonormé, on considère les points :\\
%$A(10~;~0)$, $B(12~;~3)$, $C(18~;~-1)$ et $D(16~;~-4)$.
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
%
%\item Montrer que $ABCD$ est un rectangle.
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}

$MNPQ$ est un parallélogramme. On définit le point $R$ tel que $\overrightarrow{QR} =\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ et le point $S$ tel que \\
$\overrightarrow{MS}=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$.

\begin{enumerate}[1)]

\item %Montrer que $S$ a pour coordonnées $S(5~;~4)$.
Notons $x_S$ et $y_S$ les coordonnées de $S$.\\
$\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ donc $-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\begin{pmatrix}4\\-4\end{pmatrix}$.\\
$MS=-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}$ équivaut à $\begin{cases}x_S-1=4\\y_S-0=-4\end{cases}$ donc $\begin{cases}x_S=4+1=5\\y_S=-4\end{cases}$. Les coordonnées de $S$ sont $S(5~;~-4)$

\item Compléter la figure ci-dessous en plaçant les points $R$ et $S$. 
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-5)(10,4)
\uput[d](1,0){M}
\uput[ur](9,0){N}
\uput[u](6,3){P}
\uput[u](-2,3){Q}
\uput[r](5,-4){S}
\uput[u](4,3){R}
\pspolygon[linewidth=2pt,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,0)(9,0)(6,3)(-2,3)(5,-4)(4,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-5)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-5)(10,4)
\psline{->}(1,0)(5,-4)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(1,0)(4,3)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{->}(5,-4)(9,0)
\end{pspicture}

\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %En remarquant que le vecteur $\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$, montrer que \[\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}.\]
D'après la relation de Chasles, on a : \\
$\overrightarrow{MR}$ peut s'écrire $\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QR}$\\
Alors : $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{QP}=\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}}}$ car $MNPQ$ étant un parallèlogramme, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$

\item %Écrire le vecteur $\overrightarrow{NS}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{NM}$ et $\overrightarrow{MS}$.
D'après la relation de Chasles, $\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MS}$.

\item %En déduire que \[\overrightarrow{NS}=-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}.\]
On en déduit : $\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{NM}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}=\boxed{\textcolor{red}{-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}}}$

\end{enumerate}


\item %En déduire une relation entre les vecteurs $\overrightarrow{MR}$ et $\overrightarrow{NS}$.
Alors : $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{MQ}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}=\dfrac{3}{4}\left(\overrightarrow{MN}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\right)=-\dfrac{3}{4}
\left(-\overrightarrow{MN}-\dfrac{4}{3}\overrightarrow{MQ}\right)=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{NS}$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{MR}=-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{NS}}}$
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  