\documentclass[121pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les intervalles et lectures de courbes}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%\noindent $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.\\
%Donner la définition de la courbe représentative de la fonction $f$.
C'est du cours !

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent $f$ est la fonction définie par $f(x)=2x^2-3$.\\
%Calculer $f(0)$ et $f(5)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=2\times 0^2-3=-3$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(0)=3}}$.

\item $f(5)=2\times 5^2-3=2\times 25-3=47$ ; $\boxed{\textcolor{red}{f(5)=47}}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : les puissances sont prioritaires par rapport à la multiplication ; $2x^2\neq (2x)^2$ !
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
\noindent $f$ est la fonction affine définie par $f(x)=3x+7$.\\
%Déterminer l'antécédent de 5 par $f$.
$x$ est un antécédent de 5 par $f$ si, et seulement si,  $f(x)=5$.\\
$f(x)=5$ équivaut à $3x+7=5$ donc $3x=-2$ d'où $x=-\dfrac{2}{3}$.\\`L'antécédent de 5 par $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{2}{3}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%\noindent Traduire les appartenances suivantes par un encadrement (double inégalité) ou une inégalité :

\begin{enumerate}[1)]
\item $x\in]-5~;~3]$ équivaut à :  $\boxed{\textcolor{red}{-5<x\leqslant 3}}$

\bigskip

\item $x \in ]-\infty~;~-10[$ équivaut à : $\boxed{\textcolor{red}{x<-10}}$\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} $-\infty$ et $+\infty$ ne sont pas des nombres réels, or les symboles d'inégalité servent à comparer des nombres réels, donc l'écriture $-\infty\leqslant x$ ou $x\leqslant +\infty$ n'a pas de sens (et ne servirait à rien !)

\bigskip

\item $x \in ]-10~;~8[$ équivaut à : $\boxed{\textcolor{red}{-10<x<-8}}$

\bigskip

\item $x \in [\pi~;~+\infty$[ équivaut à : $\boxed{\textcolor{red}{x\geqslant \pi}}$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%\noindent $-3\leqslant x<2$ équivaut à $x\in[-3~;~2[$.\\
%Traduire de même par une appartenance à un intervalle les inégalités suivantes :

\begin{enumerate}[1)]
\item $-7<x<5$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-7~;~5[}}$

\bigskip

\item $x\leqslant 3$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~3]}}$

\bigskip

\item $3<x<9$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]3~;~9[}}$

\bigskip

\item $x>-7$ équivaut à $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-7~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
\noindent On considère les intervalles suivants : \\
$I = ]2~;~+\infty$[\hspace{1cm}$J = ]-4~;~3[$\hspace{1cm}$K = ]-\infty~;~0[$.\\
Déterminer, sous forme d'intervalle :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\boxed{\textcolor{red}{I \cap J=]2~;~3[}}$ (ensemble des nombres appartenant aux deux intervalles)

\bigskip

\item $\boxed{\textcolor{red}{J \cup K=]-\infty~;~3[}}$ (ensemble des nombres appartenant à au moins une des intervalles)
\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{(6 points)}}
\noindent Voici la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative d'une fonction $f$.\\
Les points marqués d'une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-9,-5)(7,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-9,-5)(7,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-9,-5)(7,6)
\pscurve[linewidth=1.5pt,linecolor=red](-8,3)(-7,1)(-5,2)(-4,1)(-3,0)(-2,-3)(-1,-1)(0,4)(1,5)(2,2)(3,-2)(4,-1)(6,-4)
\psdots(-8,3)(6,-4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-7,1)(-5,2)(-4,1)(-3,0)(-2,-3)(-1,-1)(0,4)(1,5)(2,2)(3,-2)(4,-1)
\uput[r](5,-2){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
L'ensemble de définition de $f$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=[-8~;~6]}}$.


\item 
\begin{enumerate}
\item %Quelle est l'image de -7 par $f$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(-7)=1}}$.

\item %Quelle est l'image de -2 par $f$ ?
$\boxed{\textcolor{red}{f(-2)=-3}}$.

\end{enumerate}

\item %Quels sont les antécédents par $f$ de -3 ?
Les antécédents par $f$ de -3 sont -2 et environ 5,7.

\item %Résoudre l'inéquation $f(x)\leqslant 0$.
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant 0$ est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-3~;~-0,8] \cup [2,1~;~6]}}$

\item %Quel est le maximum de $f$ sur $[-7~;~-2]$ ? \\
%Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
Le maximum de $f$ sur $[-7~;~-2]$ est 2, atteint en $x=-5$.

\item %Quel est le minimum de $f$ sur $[0~;~4]$ ?\\
%Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
Le minimum de $f$ sur $[0~;~4]$  est -2, atteint en $x=3$.
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document} 