\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{ProfCollege}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du contrôle sur les équations et inéquations}}\end{center}








\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Un triangle isocèle a pour périmètre $234$ \si{\milli\metre}. Sa base $[BC]$ mesure $24$ \si{\milli\metre} de plus que chacun des côtés égaux.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,5)
\pstTriangle[PointSymbol=none](2,6){A}(1,1){B}(4.55,1.71){C}
\pstSegmentMark{A}{B}
\pstSegmentMark{A}{C}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[1)]

\item On pose $AB=x$% ; exprimer $BC$ en fonction de $x$.

$BC=x+24$.

\item %Quelle est la mesure de sa base $[BC]$ ? (La figure n'est pas en vraie grandeur.)
Le périmètre vaut $\mathscr{P}=x+x+(x+24)=3x+24$.\\
Alors : $3x+24=234$ donc $3x=234-24=210$ d'où $x=\dfrac{210}{3}=70$ ; $\boxed{\textcolor{red}{BC=94~\text{\si{\milli\metre}}}}\textbf{}$
\end{enumerate}



\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(5 points)}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[1)]
\setlength{\itemsep}{12pt}%

\item $3x+5=7x-3$
\ResolEquation[Solution]{3}{5}{7}{-3}

\item $(3x+5)(7x-3)=0$
\ResolEquation[Produit]{3}{5}{7}{-3}

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{5}{3}~;~\dfrac{3}{7}\right)}}$

\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Factoriser $4x^2-25$.
$4x^2-25=(2x)^2-5^2=\boxed{\textcolor{red}{(2x+5)(2x-5)}}$



\item %En déduire la résolution de l'équation \[4x^2-25-(2x-5)(7-x)=0\]
L'équation $4x^2-25-(2x-5)(7-x)=0$ s'écrit alors :\\
$(2x+5)(2x-5)-(2x-5)(7-x)=0\\
\iff (2x-5)\left[(2x+5)-(7-x)\right]=0\\
\iff (2x-5)(2x+5-7+x)=0\\
\iff (2x-5)(3x-2)=0$.\\

Un produit de facteurs est sul si, et seulement si, un des facteurs est égal à 0.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{5}{2}\right\}}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(1,5 points)}}
%Résoudre les inéquations suivantes :
$2x+7\geqslant 12x+3\\
\iff 2x-12x\geqslant 3-7\\
\iff -10x\geqslant -4\\
\iff x\leqslant \dfrac{-4}{-10}=\dfrac{2}{5}$ (l'inégalité change de sens car on divise par un nombre négatif)\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{2}{5}\right]}}$

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(3 points)}}
Résoudre à l'aide d'un tableau de signes : \\
$(5x+7)(-2x+5)<0$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Signe de $5x+7$ :\\
$5x+7=0\iff 5x=-7\iff x=-\dfrac{7}{5}$\\

\bigskip

$5x+7>0\iff 5x>-7\iff x>-\dfrac{7}{5}$

\item Signe de $-2x+5$ : \\
$-2x+5=0\iff -2x=-5\iff x=\dfrac{5}{2}$

\bigskip

$-2x+5>0\iff -2x>-5\iff x<\dfrac{5}{2}$ car on divise par un nombre négatif.

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{7}{5}&&\dfrac{5}{2}&&\pI\\
\hline
5x+7&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
-2x+5&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
(5x+7)(-2x+5)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : on veut que le produit soit strictement négatif : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{7}{5}\right[ \cup \left]\dfrac{5}{2}~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}


\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
On veut résoudre l'inéquation : $\dfrac{x+5}{x+12} \leqslant  3$

\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ ?
Le dénominateur ne doit pas s'annuler, donc on doit avoir $x\neq -12$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-12\right\}}}$

\item %Montrer que, pour $x\in\mathscr{D}$, cette inéquation équivaut à \[\dfrac{-2x-31}{x+12}\leqslant 0.\]
On suppose que $x\in \mathscr{D}$.\\
$\dfrac{x+5}{x+12} \leqslant  3\iff \dfrac{x+5}{x+12} - 3\leqslant 0\\
\iff \dfrac{x+5-3(x+12)}{x+12}\geqslant 0\iff \dfrac{x+5-3x-36}{x+12}\geqslant 0\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-2x-31}{x=12}\geqslant 0}}$

\item %Résoudre cette inéquation.
On étudie le signe du numérateur et du dénominateur :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Signe de $-2x-31$ :\\
$-2x-31=0\iff -2x=31\iff x=\dfrac{31}{-2}=-\dfrac{31}{2}$.

\bigskip
 $-2x-31>0\iff-2x>31\iff x<-\dfrac{31}{2}$

\item Signe de $x+12$ :\\
$x+12>0\iff x>-12$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{31}{2}&&-12&&\pI\\
\hline
-2x-31&&+&\z&-&\bb&-&\\
\hline
x+12&&-&\l&-&\bb&+&\\
\hline
\dfrac{-2x-31}{x+12}&&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %Conclure.
On veut que le quotient soit inférieur ou égal à 0 :\\
L'ensemble des solutions est \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{31}{2}\right] \cup \left]-12~;~+\infty\right[}}$
\end{enumerate}


\columnbreak

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit l'expression : \[E(x)~:~ (3x-4)^2-(2x-5)^2~ \text{\textbf{(Forme 1)}}.\]

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}[a)]
\item %Développer, réduire et ordonner $E(x)$ \textbf{(Forme 2)}
$(3x-4)^2-(2x-5)^2\\
=\left[(3x)^2-2\times 3x\times 4x+4^2\right]-\left[(2x)^2-2\times 2x\times 5+5^2\right]\\
=\left(9x^2-24x+16\right)-\left(4x^2-20x+25\right)\\
=9x^2-24x+16-4x^2+20x-25=\boxed{\textcolor{red}{5x^2-4x-9}}$ (forme 2)

\item %Factoriser $E(x)$ \textbf{(Forme 3)}
On reconnait une différence de deux carrés :\\
$ (3x-4)^2-(2x-5)^2\\
=\left[[3x-4]+(2x-5)\right]\left[[3x-4]-(2x-5)\right]\\
=\left(3x-4+2x-5\right)\left(3x-4-2x+5\right)=\boxed{\textcolor{red}{(5x-9)(x+1)}}$ (forme 3)
\end{enumerate}

\item A l’aide de la forme la plus appropriée, résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $E(x)=0\iff (5x-9)(x+1)=0$ en prenant la forme 3\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un des facteurs est nul.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1~;~\dfrac{9}{5}\right\}}}$

\item  $E(x)=-9\iff 5x^2-4x-9=-9\\
\iff 5x^2-4x=0\iff x(5x-4)=0$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{0~;~\dfrac{4}{5}\right\}}}$

\end{enumerate}

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Question facultative \textbf{(2 points)}}} : \\
\begin{align*}
E(x)&=(2x-5)(x+1)\\
&\iff (5x-9)(x+1)=(2x-5)(x+1)\\
&\iff (5x-9)(x+1)-(2x-5)(x+1)=0\\
&\iff (x+1)(5x-9-(2x-5))=0\\
&\iff (x+1)(5x-9-2x+5)=0\\
&\iff (x+1)(3x-4)=0.
\end{align*}
\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-1~;~\dfrac{4}{3}\right\}}}\]



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  