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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : contrôle}}\end{center}

%\tableofcontents



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $d$ la droite d'équation $2x+3y-9=0$
\begin{enumerate}[1)]
\item %Trouver un vecteur directeur de $d$.
Si $d$ a pour équation  cartésienne $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$.\\
Ici, $a=2$ et $b=3$ donc un vecteur directeur de $d$ est $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}}}$

\item %Trouver les coordonnées du point  de $d$ d'abscisse 0.
On remplace $x$ par 0 : $2\times 0+3y-9=0=0\\
\iff 3y=9\iff y=3$\\
Le point cherché a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left(0~;~3\right)}}$

\item %Trouver les coordonnées du point  de $d$ d'ordonnée 0.
On remplace $y$ par 0.\\
On obtient : $2x+3\times 0-9=0\iff 2x=9\\
\iff x=\dfrac{9}{2}$.\\
Ce point a pour coordonnées $\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{9}{2}~;~0\right)}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soient $A(2~;~7)$ et $B(3~;~-8)$.\\
%Trouver une équation cartésienne de $(AB)$.
Un vecteur directeur de cette droite est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-2=1\\-8-7=-15\end{pmatrix}$, donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-15\end{pmatrix}}}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Première méthode}} : on pose :\\
$\begin{cases}-b=1\\a=-15\end{cases}\iff \begin{cases}b=-1\\a=-15\end{cases}$.\\
Une équation cartésienne de $(AB)$ est alors : \\
$-15x-y+c=0$.\\
$A$ appartient à la droite $(AB)$ donc les coordonnées de $A$ vérifient cette équation :\\
$-15\times 2-7+c=0\iff -37+c=0\iff c=37$.\\
Une équation cartésienne de $(AB)$ est \\
\[\boxed{\textcolor{red}{-15x-y+37=0}}\]

\item \textbf{\textcolor{blue}{Deuxième méthode}} : soit $M(x~;~y)$.\\
$M\in(AB)$ si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ sont colinéaires.
\columnbreak

Leur déterminant doit être nul.\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-15\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-2\\y-7\end{pmatrix}$.\\
\begin{align*}
&\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AM}\right)=0\\
\iff& \begin{vmatrix}1&x-2\\-15&y-7\end{vmatrix}=0\\
\iff &y-7-(-15)(x-2)=0\\
\iff &y-7+15x-30=0\\
\iff& 15x+y-37=0.
\end{align*}
Une équation cartésienne de $(AB)$ est $\boxed{\textcolor{red}{15x+y-37=0}}\textbf{}.$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Soient $A(-3~;~5)$ et $B(2~;~9)$.\\
%Trouver une équation cartésienne de $(AB)$.
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x+3\\y-5\end{pmatrix}$.\\
\begin{align*}
&\det\left(\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AM}\right)=0\\
\iff& \begin{vmatrix}5&x+3\\4&y-5\end{vmatrix}=0\\
\iff& 5(y-5)-4(x+3)=0\\
\iff& 5y-25+-4x-12=0\\
\iff& \boxed{\textcolor{red}{-4x+5y-37=0}}.
\end{align*}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $d$ la droite d'équation cartésienne \\
$3x+7y-5=0$.\\
%Donner l'équation réduite de $d.$
$3x+7y-5=0\iff 7y=-3x+5\iff y=\dfrac{-3x+5}{7}\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{7}}}$.\\
L'équation réduite de $d$ est : $y=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{5}{7}$.



\end{multicols}\label{fin}
\end{document}  