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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\textcolor{blue}{\textbf{NOM (en CAPITALES)}} : 

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : corrigé du contrôle (milieu d'un segment, longueurs, vecteurs)}}\end{center}

Dans tout le sujet, le plan est muni d'un repère orthonormal $(O~;~I~;~J)$.





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
On considère les points A, B et C représentés ci-dessous.\\
%Construire D, image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Voir figure.
\begin{center}
\psset{unit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,7)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(6,7)
\pstGeonode[PosAngle={0,0,0}](1,2){A}(3,4){B}(2,1){C}
%\psline{->}(1,2)(3,4)
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt]{B}{A}
\pstTranslation[PointName=D]{A}{B}{C}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt]{C'}{C}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On donne les points $A(2~;~3)$ et $B(-1~;~-4)$.\\
%Calculer les coordonnées du milieu du segment $[AB]$.
Soit $M$ le milieu de $[AB]$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}$

\item $y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{-4+3}{2}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
Les coordonnées de $M$ sont $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}\right)}}$.
\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soient $A(2~;~-3)$, $B(4~;~5)$ et $C(-1~;~2)$.\\
%Déterminer les coordonnées du point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
$ABCD$ est un parallélogramme si ses diagonales ont le même milieu.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $M$ le milieu de $[AC]$.\\
$x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}$\\
$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{-3+2}{2}=-\dfrac{1}{2}$.\\
Les coordonnées de $M$ sont $\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{2}\right)}}$.

\item $M$ doit être le milieu de l'autre diagonale $[BD]$. Alors :\\
$x_M=\dfrac{x_Bx_D}{2}$ donc $2x_M=x_B+x_D$ d'où \\
$x_D=2x_M-x_B=2\times \dfrac{1}{2}-4=1-4=-3$.\\
$y_M=\dfrac{y_By_D}{2}$ donc $2y_M=y_B+y_D$ d'où \\
$y_D=2y_M-y_B=2\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)-5=-1-5=-6$.
Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, l faut que les coordonnées de $D$ soient $\boxed{\textcolor{red}{D(-3~;~-6)}}$.
\end{enumerate}

Figure (non demandée).`
\begin{center}
\psset{unit=0.8,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-7)(5,6)
\pstGeonode[PosAngle={0,0,180,180},CurveType=polygon,fillstyle=solid,fillcolor=yellow!30](2,-3){A}(4,5){B}(-1,2){C}(-3,-6){D}\pstGeonode[PosAngle=0](0.5,-0.5){M}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-7)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-7)(5,6)
\end{pspicture}

\end{center}
\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
On donne les points $C (-1~;~-3)$ et $D (3~;~1)$.\\
%Calculer la longueur CD.
$CD=\sqrt{\left(x_D-x_C\right)^2+\left(y_D-y_C\right)^2}=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-(-3))^2}\\
=\sqrt{4^2+4^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{32}=4\sqrt{2}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}
On considère les points A (1~;~-1), B (-2~;~ 0), C (0~;~6) et D (3~;~5).
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment [AC].
$M\left(\dfrac{x_A+x_C}{2}~;~\dfrac{y_A+y_C}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item %Déterminer les coordonnées du milieu $M'$ du segment [BD].
$M'\left(\dfrac{x_B+x_D}{2}~;~\dfrac{y_B+y_D}{2}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{5}{2}\right)}}$.

\item %Que constate-ton ? \\
%En déduire la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.
$M$ et $M'$ ont les même coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales de $ABCD$ ont le même milieu : c'est un \textbf{\textcolor{red}{parallélogramme}}.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
On considère les points $A (3~;~4)$, $B (-2~;~3)$ et $C (4~;~-2)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(-2-3)^2+(3-4)^2}=\sqrt{(-5)^2+(-1)^2}\\
=\sqrt{25+1}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{26}}}$

\item $BC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(4-(-2))^2+(-2-3)^2}=\sqrt{6^2+(-5)^2}\\
=\sqrt{36+25}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{61}}}$

\item $AC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(4-3)^2+(-2-4)^2}=\sqrt{1^2+(-6)^2}\\
=\sqrt{1+36}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{37}}}$

\end{enumerate}

\item %Le triangle $ABC$ est-il rectangle ?
Le plus grand côté est $BC=\sqrt{61}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $BC^2=61$

\item $AB^2+AC^2=26+37=63$.

\item $BC^2\neq AB^2+AC^2$.\\
D'après la contraposée du théorème de Pythagore, $ABC$ n'est pas rectangle.
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\columnbreak


\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Soient A, B, C et D quatre points du plan (voir figure).

\begin{enumerate}[a)]
\item %Construire le point E, image du point A par la translation de vecteur $\overrightarrow{DC}$.
On doit avoir $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{DC}$

\item %le point F image du point A par la translation qui transforme B en C.
On doit avoir $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{BC}$

\item %La translation qui transforme B en A transforme G en D. Placer le point G. 
On doit avoir $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BA}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(7,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(7,6)
\pstGeonode[PosAngle={-90,-90,90,90},CurveType=polygon,linewidth=2pt](0,0){A}(5,0){B}(3,5){C}(1,3){D}
\pstTranslation[PointName=E]{D}{C}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=1.5pt,linecolor=red]{A'}{A}
\pstTranslation[PointName=F]{B}{C}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{A'}{A}
\pstTranslation[PointName=G]{A}{B}{D}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=1.5pt,linecolor=green]{D}{D'}

\end{pspicture}

\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  