<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{correction du TD \no 8 (somme de vecteurs, fonctions affines)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
En utilisant la relation de Chasles, recopier et complÃ©ter les Ã©galitÃ©s suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{\textcolor{red}{B}C}$

\item $\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{F\textcolor{red}{U} }+\overrightarrow{U\textcolor{red}{E} }$

\item $\overrightarrow{OU}+\overrightarrow{RS}+\overrightarrow{UR}=\overrightarrow{\textcolor{red}{OS} }$

\item $\overrightarrow{RT}=\overrightarrow{R\textcolor{red}{I}}+\overrightarrow{I\textcolor{red}{T} }$

\item $\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{\textcolor{red}{X}M}+\overrightarrow{\textcolor{red}{M}N}+\overrightarrow{\textcolor{red}{NY} }$
\end{enumerate}

\subsection{}
ConsidÃ©rons huit points D, O, R, E, M, I, F et A tels que les quadrilatÃ¨res DORE, REMI et MIFA sont tous des parallÃ©logrammes \textbf{\textcolor{red}{quelconques}}.\\


\begin{enumerate}

\item %Faire une figure (attention, ce sont des parallÃ©logrammes quelconques et respecter l'ordre des points !)
Figure possible :
\begin{center}
\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1}
\newrgbcolor{xdxdff}{0.49019607843137253 0.49019607843137253 1}
\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-3)(7,9)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{-&gt;}(0,0)(-1,-3)(7,9)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](1,-1)(5,-1)(6,1)(2,1)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=red!30,fillstyle=solid,opacity=0.1](6,1)(2,1)(0,3)(4,3)
\pspolygon[linewidth=2pt,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1](0,3)(4,3)(6,8)(2,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](1,-1)(5,-1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](5,-1)(6,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,1)(2,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,1)(1,-1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,1)(2,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,1)(0,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](0,3)(4,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](4,3)(6,1)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](0,3)(4,3)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](4,3)(6,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](6,8)(2,8)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=zzttqq](2,8)(0,3)
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1,-1)
\uput[d](1,-1){\ududff{$D$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](5,-1)
\uput[d](5,-1){\ududff{$O$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6,1)
\rput[bl](6.08,1.2){\ududff{$R$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2,1)
\rput[bl](2.08,1.2){\ududff{$E$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=xdxdff](0,3)
\uput[l](0.08,3.2){\xdxdff{$M$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](4,3)
\uput[r](4.08,3.2){\ududff{$I$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2,8)
\rput[bl](2.08,8.2){\ududff{$A$}}
\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6,8)
\rput[bl](6.08,8.2){\ududff{$F$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item %Montrer que $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$.
$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$ car $DORE$ est un paralÃ©logramme.

\item %ComplÃ©ter en expliquant : 
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{MI}$ ($REMI$ est un parallÃ©logramme)

\item $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AF}$ ($MIFA$ parallelograme)
\end{enumerate}

\item %Que peut-on en dÃ©duire pour les vecteurs $\overrightarrow{DO}$ et $\overrightarrow{AF}$ ?
On a $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{ER}$, $\overrightarrow{ER}=\overrightarrow{MI}$ et $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{AF}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AF}}}$

\item %DÃ©montrer alors que le quadrilatÃ¨re DOFA est lui aussi un parallÃ©logramme.
Puisque $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{AF}$, on en dÃ©duit que $DOFA$ est lui aussi un parallÃ©logramme.
\end{enumerate}



\subsection{}
On considÃ¨re un objet mobile soumis Ã&nbsp; trois forces $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$
et $\overrightarrow{F_3}$. 
On doit construire le vecteur somme \\
$\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}$.\\
On appelle $\overrightarrow{u}$ la somme $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$. C'est la somme de deux vecteurs de mÃªme origine, donc la diagonale du parallÃ©logramme que l'on peut former sur ces deux vecteurs.\\
Alors : $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{F_3}$.\\
La force rÃ©sultante, $\overrightarrow{F}$ est diffÃ©rente du vecteur nul ; l'objet va se dÃ©placer, vers le haut.\\
Attention, la norme du vecteur $\overrightarrow{F}$ correspond Ã&nbsp; l'intensitÃ© de la force appliquÃ©e Ã&nbsp; l'objet, pas Ã&nbsp; la longueur de son dÃ©placement.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-3.)(3.,2.8)
%  \multido{\i=-3+1}{7}{
%    \psline[linewidth=.3pt](\i,-3)(\i,3)
%    \psline[linewidth=.3pt](-3,\i)(3,\i)}
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(3,3)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt](-3,-3)(3,3)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue](-.2,-.2)(-.2,.2)(.2,.2)(.2,-.2)
  \psline[linewidth=1.8pt]{-&gt;}(0,0)(-1,-3)\rput(-.4,2.4){$\overrightarrow{F_1}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{-&gt;}(0,0)(-1,3)\rput(-.4,-2.6){$\overrightarrow{F_2}$}
  \psline[linewidth=1.8pt]{-&gt;}(0,0)(2,1)\rput(1.6,.3){$\overrightarrow{F_3}$}
\psline[linestyle=dashed](-1,3)(-2,0)
\psline[linestyle=dashed](-1,-3)(-2,0)
\psline[linewidth=1.8pt]{-&gt;}(0,0)(-2,0)\uput[d](-1,0){$\overrightarrow{u}$}
\psline[linewidth=1.8pt](-2,0)(0,1)
\psline[linewidth=1.8pt](0,1)(2,1)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{-&gt;}(0,0)(0,1)\uput[r](0,0.5){$\overrightarrow{F}$}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{}
%Les fonctions suivantes sont-elles affines ? Si oui, donner le coefficient directeur est l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine.
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : $f$ est affine s'il existe deux nombres $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$, $f(x)=ax+b$ oÃ¹ $a$ est le coefficient directeur et $b$ l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine.

\begin{enumerate}[1) $f_1~$]
\item $: x\mapsto 3x+5 $ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$.

\item $: x\mapsto  -2x - 7,5$ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=-2\\b=-7,5\end{cases}$.

\item $: x\mapsto \dfrac{3}{x+1}$ ; $f$ n'est pas affine.

\item $: x\mapsto \dfrac{2}{5}x-\dfrac{4}{7}$ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=\dfrac{2}{5}\\b=\dfrac{4}{7}\end{cases}$.

\item $: x\mapsto 3x^2-5$ ; $f$ n'est pas affine puisque la variable est au carrÃ©.

\item $: x\mapsto 3\sqrt{x}$ ; $f$ n'est pas affine puisque $\sqrt{x}\neq x$.

\item $: x\mapsto \dfrac{7x-3}{5}=\dfrac{75}{x}-\dfrac{3}{5}$ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=\dfrac{7}{5}\\b=\dfrac{3}{5}\end{cases}$.

\item $: x\mapsto \sqrt{2}x$ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=\sqrt{2}\\b=0\end{cases}$. (On dit que $f$ est linÃ©aire)

\item $: x\mapsto 2(x-\sqrt{7})-2x=\cancel{2x}-2\sqrt{7}-\cancel{2x}=2\sqrt{7}$ ; $f$ est affine avec $\begin{cases}a=0\\b=2\sqrt{7}\end{cases}$. ($f$ est constante)

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f : x\mapsto 3x-4$ une fonction affine.\\

\begin{enumerate}[1)]
\item %DÃ©terminer les images par $f$ de 3 et de 7.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Image de 3 :
\FonctionAffine[Image]{3}{3}{-4}{}

\item Image de 7 : 
\FonctionAffine[Image]{7}{3}{-4}{}
\end{enumerate}
\item %DÃ©terminer le ou les antÃ©cÃ©dents par $f$ de -1.
AntÃ©cÃ©dent de -1 :\\

\FonctionAffine[Antecedent]{-1}{3}{-4}{}\\
$\dfrac{3}{3}=1$\\
L'antÃ©cÃ©dent de -1 est 1.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>