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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD6 (milieux, distances)}}\end{center}

%Le plan n'est muni d'un repère orthonormé $(O~;~I~;~J)$.




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On considère les points $A(1~;~3)$, $B(7~;~2)$, $C(4 ~;~-2)$ et $D(-2 ~;~-1)$.

\begin{enumerate}
\item  %Calculer les coordonnées des milieux des segments $[AC]$ et $[BD]$.
Soit $M$ le milieu de $[AC]$ :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_A+x_C}{2}=\dfrac{1+4}{2}=\dfrac{5}{2}$ et \\
$y_M=\dfrac{y_A+y_C}{2}=\dfrac{3+(-2)}{2}=\dfrac{1}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{M\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$

\item Soit $M'$ le milieu de $[BD]$.\\
$x_{M'}=\dfrac{x_B+x_D}{2}=\dfrac{7+(-2)}{2}=\dfrac{5}{2}$ et \\
$y_{M'}=\dfrac{y_B+y_D}{2}=\dfrac{2+(-1)}{2}=\dfrac{1}{2}$\\
$\boxed{\textcolor{red}{M'\left(\dfrac{3}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)}}$.

\end{enumerate}
\item %Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.
Les deux points ont les mêmes coordonnées donc $M=M'$.\\
Les diagonales du quadrilatère $ABCD$ ont le même milieu : $ABCD$ est une parallélogramme.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points  $A(-1~;~2)$ et $B(4~;~3)$.\\
%Calculer la distance $AB$.
$AB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}=\sqrt{(4-(-1))^2+(3-2)^2}\\
=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{26}}}$

\subsection{}
On considère les points $A(1~;~-1)$, $B(8~;~4)$ et $M(2~;~5)$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer les longueur $MA$ et $MB$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $MA=\sqrt{\left(x_A-x_M\right)^2+\left(y_M-y_A\right)^2}\\
=\sqrt{(2-1)^2+(5-(-1))^2}=\sqrt{1^2+6^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{37}}}$.

\item $MB=\sqrt{\left(x_B-x_M\right)^2+\left(y_M-y_B\right)^2}\\
=\sqrt{(2-8)^2+(5-4)^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{37}}}$.
\end{enumerate}

\item %Que peut-on en déduire pour le point $M$ ?
$MA=MB$ donc $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$.
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère les points  $A(-2~;~3)$, $B(3~;~4)$, $C(3~;~-2)$ et $M(1~;~1)$.\\
%Montrer que $A$ , $B$ et $C$ appartiennent à un même cercle de centre $M$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $MA==\sqrt{(-2-1)^2+(3-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$

\item $MB=\sqrt{(3-1)^2+(4-1)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$

\item $MC=\sqrt{(3-1)^2+(-2-1)^2}=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{13}}}$.

\item On constate que $MA=MB=MC=\sqrt{13}$.\\
$A$, $B$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $M$ et de rayon $\sqrt{13}$.

\end{enumerate}

\subsection{}
On considère les points $A(4 ; 1)$ , $B (2 ; 5)$ , $C (-2 ; 3)$.
\begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $M$ le milieu de $[AC]$.\\
$M\left(\dfrac{4+(-2)}{2}~;~\dfrac{1+3}{2}\right)$ donc $\boxed{\textcolor{red}{M\left(1~;~2\right)}}$.

\item Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, $M$ doit être le milieu de ${BD}$.\\
Notons $x_D$ et $y_D$ les coordonnées de $D$.\\
On doit avoir  :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_M=\dfrac{x_B+x_D}{2}$ donc $x_D=2x_M-x_B=2\times 1-2=0$

\item $y_M=\dfrac{y_B+y_D}{2}$ donc $y_D=2y_M-y_B=2\times 2-5=-1$
\end{enumerate}
Le point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme est $\boxed{\textcolor{red}{D(0~;~-1)}}$
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-2)(5,6)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4,1)(2,5)(-2,3)(0,1)(1,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30](4,1)(2,5)(-2,3)(0,-1)
\psline(4,1)(-2,3)
\uput[d](4,1){$A$}
\uput[u](2,5){$B$}
\uput[u](-2,3){$C$}
\uput[d](0,-1){$D$}
\uput[u](1,2){$M$}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(5,6)

\end{pspicture}

\end{center}

\item %Calculer les longueurs $AB$ et $BC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(2-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\
=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}}}$

\item $BC=\sqrt{(-2-2)^2+(3-5)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}\\
=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ ; $BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
\end{enumerate}

\item %Que peut-on en déduire pour le quadrilatère $ABCD$ ?
$ABCD$ est un parallélogramme avec deux côtés consécutifs de même longueur : c'est un losange.

\item %Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AC=\sqrt{(-2-4)^2+(3-1)^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$

\item $AC^2=40$ ; $AB^2+BC^2=20+20=40$

\item $AC^2=AB^2+BC^2$ ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $B$.
\end{enumerate}

\item %En déduire que $ABCD$ est un carré.
$ABCD$ est un losange avec un angle droit : c'est un carré.
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  