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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 5 (courbes, tableaux de variation, arithmetique)}}\end{center}

\subsection{}%http://xriadiates.e-monsite.com/medias/files/combine-10-copier.pdf
Une fonction $f$ a pour tableau de variation :

\begin{center}
\begin{variations}
x&-10&& -8&& -5&& -3&& -2&& 1&& 4&& 6\\
\hline
\m{f(x)}&\h{-3}&\d&-9&\cb&\m{0}&\ch&\h{3}&\dh&\m{0}&\db&-10&\rightarrow&-10&\c&\h{-4}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}



\begin{enumerate}[1)]
\item %À partir du tableau de variation ci-dessous, recopier et compléter les égalités ou inégalités suivantes en justifiant :

\begin{enumerate}
\item %$f (-1,9)\dots f (-0,2)$
$f (-1,9) > f (-0,2)$ car $-1,9 < -0,2$ et $f$ est décroissante sur $[-3~;~1].$  



\item %$f (-6,9)\dots f (-4,7)$
$f (-6,9) < f (-4,7)$ car $-6,9 < -4,7$ et f est croissante sur [-8~;~ -3].

\item %$f (1,7)\dots f (3,1)$
$f(1,7)=f(3,1)$ car $1,7<3,1$ et $f$ est constante sur $[1~;~4]$.
\end{enumerate}

\item -9,5 et -8,5 appartiennent à [-10~;~-8]. Sur cet intervalle, la fonction $f$ est décroissante donc renverse l'ordre.\\
$-9,5<-8,5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(-9,5)>f(-8,5)}}$

\item 
On ne peut pas comparer $f (-6,5)$ et $f (4,7)$ car la fonction $f$ n’est pas monotone (elle change de sens
de variation) sur $[-6,5~;~,7]$.

\item %Peut-on comparer l’image des nombres -4, 4 et 4, 2 ? Justifier.
$f (-4,4) > f (4,2)$ car d’après le signe de la fonction $f (-4,4) > 0$ et $f (4,2) < 0$ (mais, on ne
peut pas utiliser le sens de variation qui change sur l’intervalle $[-4,4~;~4,2])$.
\end{enumerate}



\subsection{}
\noindent Voilà la courbe $\mathscr{C}_f$, représentative d'une fonction $f$.\\
Les points marqués d'une croix sont à coordonnées entières.
\begin{center}
\psset{unit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-4)(7,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-4)(7,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-6,-4)(7,6)
\pscurve[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,2)(-3,4)(-2,1)(-1,-3)(-0.8,-2.9)(0,-2.5)(1,-2)(2,-1)(3,1)(4,4)(5,5)(6,3)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-5,2)(-3,4)(-2,1)(-1,-3)(1,-2)(2,-1)(3,1)(4,4)(5,5)(6,3)
\uput[u](-3,4){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelles sont les images de -3 ? de-2 ? de 3 ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(-3)=4$

\item $f(-2)=1$

\item $f(3)=1$
\end{enumerate}

\item  %Quels sont les antécédents de 4par $f$ ?
Il y a trois points de $\mathscr{C}_f$ qui ont une ordonnée agile à 4, donc 4 possède trois antécédents par $f$ : ce sont -3~;~4 et environ 5,8.

\item %Dresser le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation de $f$
\begin{center}
\begin{variations}
x&-5&&-3&&-1&&5&&6\\
\hline
\m{f(x)}&2&\c&\h{4}&\d&-1&\c&\h{5}&\d&3\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\

\subsection{}
%Soient $n$, $p$ et $q$ des entiers relatifs non nuls tels que $n=pq$.\\
%$n$ est un multiple de $p$ et de $q$ ; $p$ et $q$ sont des diviseurs de $n$.\\
%\textbf{Exemple} : $6=2\times 3$ ; 6 est un multiple de 2 et de 3 : 2 et 3 sont des diviseurs de 6.\\
%\textbf{Remarque} : tout nombre entier relatif non nul est divisible par 1 et lui-même.\\
%On s'intéresse désormais aux entiers naturels non nuls.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Qu'appelle-t-on un nombre premier.
Un nombre premier est un entier naturel qui n'a que deux diviseurs propres (dinstincts), 1 et lui-même.

\item %Quel est le plus petit entier premier ?
Le plus petit entier premier est 2 (divisible par 1 et par 2).

\item %Combien y a-t-il d'entiers premiers \textbf{pairs} ?
2 est le seul nombre premier pair ; les autres entiers pairs sont divisibles au moins par 1, eux-mêmes et 2, donc ils au Mons trois diviseurs.

\item %La liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 est :\\
%$\{2~;~3~;~5~;~7~;~11~;~13~;~17~;~19~;~23~;~29~;~31~;~37~;~41~;~43~;~47~;~53~;~59~;\\61~;~67~;~71~;~73~;~79~;~83~;~89~;~97\}$.

\item %La décomposition de 240 en produit de facteurs premiers est : $240=2^3\times 3^2\times 5$.\\
Décomposer en produit de facteurs premiers les nombres :
\begin{enumerate}
\item $117=\boxed{\textcolor{red}{3^2\times 13}}$

\item $132=\boxed{\textcolor{red}{2^2\times 3\times 11}}$

\item $357=\boxed{\textcolor{red}{5\times 7\times 17}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
%Soit $n\in\mathbb{N}$.
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $n$ est pair s'il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $n=2p$.
%
%\item $n$ est impair s'il existe $p\in\mathbb{N}$ tel que $n=2p+1$.
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}[a)]
\item %Écrire $n=18$ sous la forme $n=2p$ en précisant la valeur de $p$.
$n=2p$ avec $p=9$.

\item %Écrire $n=23$ sous la forme $n=2p+1$ en précisant la valeur de $p$.
$23=2\times 11+1=2p+1$ avec $p=11$.

\item %Montrer que le produit de deux nombres pairs est pair.
Soient $n=2p$ et $n'=2p'$ où $p$ et $p'$ sont des entiers naturels.\\
$nn'=(2p)(2p')=4pp'=2\times 2pp'$ ; $2pp'\in\mathbb{N}$ donc $nn'$ est pair.

\item %Montrer que le produit de deux nombres impairs est impair.
Soient $n=2p+1$ et $n'=2p'+1$ où $p$ et $p'$ sont des entiers naturels.\\
$nn'=(2p+1)(2p'+1)=4pp'+2p+2p'+1\\
=2\left(2pp'+p+p'\right)+1=2q+1$ avec $x=2pp'+p+p'\in\mathbb{N}$ donc $nn'$ est impair.

\item %Montrer que le produit de deux nombres entiers \textbf{consécutifs} est pair.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $n$ est pair, $n=2p$ et $n+1=2p+1$ donc \\
$n(n+1)=2p(2p+1)$ qui est un multiple de 2, donc un entier pair.

\item Si $n$ est impair, $n=2p+1$ et $n+1=2p+1+1=2p+2\\
=2(p+1)$ donc $n(n+1)=(2p+1)\times 2(p+1)=2(2p+1)(p+1)$ qui est un multiple de 2, donc un entier pair.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
On souhaite calculer $\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}$.\\
Pour cela, il faut mettre les fractions au même dénominateur.\\
Comme dénominateur commun, on calcule le \textbf{\textcolor{blue}{plus petit commun multiple}} de 15 et 48, noté \textbf{PPCM}.
\begin{enumerate}
\item %Effectuer la décomposition de ces deux nombres en produit de facteurs premiers.
$\boxed{\textcolor{red}{48=2^4\times 3}}$~;~$\boxed{\textcolor{red}{15=3\times 5}}$.

\item %En déduire que le PPCM de 15 et 48 est 240.
Le PPCM de 15 et 49 est : $2^4\times 3\times 5=\boxed{\textcolor{red}{240}}$

\item %Effectuer alors le calcul demandé.
$\dfrac{23}{48}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{23\times 5}{48\times 5}-\dfrac{5\times 16}{15\times 16}=\dfrac{115-80}{240}=\dfrac{35}{240}=\dfrac{\cancel{5}\times 7}{\cancel{5}\times 48}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{48}}}$
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  