\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction duTD \no  29}}\end{center}


\subsection{}
Un club propose deux types d’activité : le sport en compétition et le sport en loisir.\\
Des tarifs différents sont proposés selon que l’on est adulte (plus de 18 ans) ou jeune.\\
Le nombre d’adhérents du club est 900 et on sait que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 567 ont choisi le sport-loisir et parmi eux 234 sont adultes.

\item 270 jeunes ont choisi la compétition.

\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item On obtient le tableau ci-dessous,
\begin{center}
 \begin{tabular}{|*{4}{c|}} 
 \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Sport-loisir&Compétition&Total\\
\hline
Adultes&234&63&297\\
\hline
Jeunes&333&270&603\\
\hline
Total&567&333&900\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}


\item On choisit un adhérent du club et on appelle $C$ l'évènement :\og{} l'adhérent a choisi la compétition\fg{} et $A$ l’événement : \og{}L’adhérent est un adulte\fg{}.
\begin{enumerate}

\item %Quel est l'univers de cette expérience ? Quelle est la loi de probabilité ?
L'univers est l'ensemble des adhérents.\\
il y a donc \textbf{\textcolor{red}{équiprobabilité}} des issues, chaque adhérent à une probabilité $\dfrac{1}{900}$ d’être choisi.

\item %calculer les probabilités des évènements $A$ et $C$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A)=\dfrac{297}{900}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{33}{100}}}$

\item $p(C)=\dfrac{333}{900}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{111}{300}}}$
\end{enumerate}

\item %Décrire par une phrase, les évènements suivants :	$\overline{A}$, $A \cap C$, $A \cup C$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overline{A}$ est \og{}l’adhérent n’est pas un adulte\fg{}

\item $A \cap C$ est l'événement : \og{}l’adhérent est un adulte \textbf{\textcolor{red}{et}} il a choisi la compétition\fg{}

\item $A \cup C$ est l'événement : \og{}l’adhérent est un adulte \textbf{\textcolor{red}{ou}} il a choisi la compétition\fg{}
\end{enumerate}

\item %Calculer la probabilité de chacun des évènements de la question précédente.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(\overline{A}\right)=1-p(A)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{67}{100}}}$

\item $p(A \cap C)=\dfrac{63}{900}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{100}}}$

\item $p(A \cup C)=\dfrac{63}{900}=\dfrac{7}{100}=p(A)+p(C)-p(A \cap C)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{567}{900}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\item %On choisit un adhérent parmi les adultes. Quelle est la probabilité $p_1$ qu’il ait choisi la compétition ? 
On choisit un adhérent parmi les adultes. La probabilité $p_1$ qu’il ait choisi la compétition est :\\
$p_1=\dfrac{63}{297}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{33}}}$

\item %On choisit un adhérent parmi ceux qui ont choisi la compétition. Quelle est la probabilité $p_2$ qu’il s’agisse d’un adulte ?
On choisit un adhérent parmi ceux qui ont choisi la compétition. La probabilité $p_2$ qu’il s’agisse d’un adulte est :\\
$p_2=\dfrac{63}{333}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{21}{111}}}$

\end{enumerate}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet blanc (collège de Conakry en Guinée) }}
%Calculer $A=\dfrac{9^{2nx+1}+9^n}{3^{2n+1}-3^{2n}}$
$A=\dfrac{9^{n+1}+9^n}{3^{2n+1}-3^{2n}}=\dfrac{9^n\left(9+1\right)}{3^{2n}\left(3-1\right)}=\dfrac{9^n\times 10}{9^{n}\times 2}=\boxed{\textcolor{red}{5}}$

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet blanc (collège de Conakry en Guinée) }}
Soient $U=x-2\sqrt{6}$ et $V=x+2\sqrt{6}$.\\
%Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ ces deux nombres sont-ils inverses ?
$U$ et $V$ sont inverses si, et seulement si, $UV=1$.\\
$UV=1\iff \left(x-2\sqrt{6}\right)^2\left(x+2\sqrt{6}\right)^2=1\\
\iff x^2-24=1\iff x=25\iff x=\pm 5$.\\
Les deux nombres possibles sont -5 et 5.

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Rappeler la factorisation de l'expression $a^2+2ab+b^2$.
$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

\item %En déduire la résolution de l'équation \[x^2+14x+49=0.\]
$x^2+14x+49=0\iff (x+7)^2=0\iff x=-7$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-7\}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
On veut résoudre l'équation $x^2+5x+6=0$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %L'expression $x^2+5x+6$ a-t-elle un facteur commun ? \\
%Est-ce une identité remarquable ?
$x^2+5x+6$ n'a ni facteur commun et ce n'est pas une identité remarquable.

\item %D'après la factorisation de $a^2+2ab+b^2$, on peut écrire : $a^2+2ab=(\cdots+\cdots)^2-\cdots$.\\
$a^2+2ab=(a+b)^2--b^2$\\
%:
Compléter alors : $x^2+5x=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}}}$.

\item %Montrer que l'équation $x^2+5x+6=0$ s'écrit : \[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0\]
$x^2+5x+6=0\iff \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{4}+6=0\iff \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0$

\item %En reconnaissant une identité remarquable, factoriser $\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$.
 $\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]=\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right]=\boxed{\textcolor{red}{(x+2)(x+3)}}$

\item %En déduire alors la résolution de l'équation \[x^2+5x+6=0\]
$x^2+5x+6=0\iff (x+2)(x+3)=0$ ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~-2\}}}$

\end{enumerate}

\subsection{}
%Appliquer la même méthode pour résoudre l'équation $x^2+3x+12=0$.\\
%Qu'obtient-on ?
$x^2+3x+12=0\iff \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+12=0\iff \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+12=0\iff \left(x+\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{39}{4}=0$.\\
Cette somme est strictement positive donc ne peut s'annuler ; $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$


\subsection{}
On considère le nombre $A=\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Montrer que $A<0$.
$7-4\sqrt{3}<7+4\sqrt{3}$ donc $\sqrt{7-4\sqrt{3}}<\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ donc $A<0$.

\item %Montrer que $A=-2\sqrt{3}$.
$A^2=\left(\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}\right)^2=\sqrt{7-4\sqrt{3}}^2-2\sqrt{7-4\sqrt{3}}\times \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}^2\\
=7-4\sqrt{3}-2\sqrt{\left(7-4\sqrt{3}\right)\left(7+4\sqrt{3}\right)}+7+4\sqrt{3}\\
=14-2\sqrt{49-48}=14-2\sqrt{1}=14-2=\boxed{\textcolor{red}{12}}$.\\
Alors : $A=\pm\sqrt{12}=\pm2\sqrt{3}$.\\
Comme $A$ est négatif, on a : $\boxed{\textcolor{red}{A=-2\sqrt{3}}}$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} $7+4\sqrt{3}=4+2\sqrt{3}+3=2^2+2\times2\times  \sqrt{3}+\sqrt{3}^2\\
=\left(2+\sqrt{3}\right)^2$ donc $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}=\boxed{\textcolor{red}{2+\sqrt{3}}}$\\
De même : $7-4\sqrt{3}=\left(2-\sqrt{3}\right)^2$ donc $\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.\\
Alors : $A=\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\left(2-\sqrt{3}\right)-\left(2+\sqrt{3}\right)\\
=2-\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}=\boxed{\textcolor{red}{-2\sqrt{3}}}$

\subsection{}
On considère le nombre $A=\sqrt{2+\sqrt{3}}$.\\
.\\
Une élève a tapé ce nombre sur sa calculatrice et obtient comme résultat : $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$.\\
%Est-ce possible ?
Ce sont deux nombres positifs : comparons leurs carrés !\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $A^2=\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{2+\sqrt{3}}}$

\item $\left(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}{4}=\dfrac{\sqrt{6}^2+2\times \sqrt{6}\times \sqrt{2}+\sqrt{2}^2}{4}\\
=\dfrac{6+2\sqrt{12}+4}{4}=\dfrac{8+2\times \sqrt{2^2\times 3}}{4}=\dfrac{8+2\times 2\sqrt{3}}{4}\\
=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\cancel{4}\left(2+\sqrt{3}\right)}{\cancel{4}}=\boxed{\textcolor{red}{2+\sqrt{3}}}$.\\
Deux nombres positifs qui ont le même carré sont égaux, donc : $\boxed{\textcolor{red}{A=\sqrt{2+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}}$ 
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  