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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 28 sur les probabilités}}\end{center}



\subsection{}
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde le résultat obtenu sur la face supérieure.

\begin{enumerate}
\item %Quel est l'univers $\Omega$ ?
L'univers est  $\boxed{\textcolor{red}{\Omega=\{1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6\}}}$

\item %Donner un événement élémentaire.
Un événement élémentaire est par exemple \og{}obtenir un multiple de 5\fg{}.

\item %Donner un événement non élémentaire.
Un événement non élémentaire est par exemple : \og{}obtenir un nombre pair\fg{}.

\item %Donner un événement certain.
Un événement certain est par exemple : \og{}obtenir un nombre entier\fg{}

\item %Donner un événement impossible.
Un événement impossible est par exemple : \og{}obtenir un entier négatif\fg{}
\end{enumerate}

\subsection{}
Lors d'une étude sur les voyages des lycéens en Europe, 363 élèves de seconde ont été interrogés sur leurs séjours en Espagne, Angleterre et Italie.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 180 élèves ont séjourné en Espagne, 192 en Angleterre et 199 en Italie.

\item 103 élèves ont séjourné au moins en Espagne et en Angleterre, 105 élèves ont séjourné au moins en Italie et en Angleterre, 123 élèves ont séjourné au moins en Espagne et en Italie.

\item De plus 73 élèves déclarent avoir séjourné dans les trois pays.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item  Construire un diagramme de Venn pour décrire la situation (voir ci-dessous).

\item En vous aidant du diagramme, déterminer le nombre d'élèves :

\begin{enumerate}[a)]
\item %qui ont séjourné uniquement en Espagne.
27 ont séjourné uniquement en Espagne.

\item %qui ont séjourné uniquement en Italie et en Angleterre.
32 ont séjourné uniquement en Italie et en Angleterre.

\item %qui n'ont séjourné dans aucun de ces trois pays.
 On va compter les élèves qui sont partis, et l'on retranchera ce résultat à 363, nombre d'élèves.\\
 Il faut faire attention à ne pas compter deux fois le même élève :\\
$27 + 30 + 73 + 50 + 44 + 32 + 57 = 313$\\
$363-313 = 50$.\\
Donc il y a 50 élèves qui ne sont pas partis.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{venndiagram3sets}[labelA=E,labelB=A,labelC=I,labelABC={73},labelOnlyAB={30},labelOnlyAC={50},labelOnlyBC={32},labelOnlyA={27},labelOnlyB={57},labelOnlyC={44}]
%\fillA \fillB \fillC

\end{venndiagram3sets}
\end{center}

\subsection{}
Dans un groupe de 50 personnes, 35 parlent anglais, 10 parlent italien et 4 parlent anglais et italien.\\
%Quelle est la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans ce groupe ne parle aucune des deux langues ?
\begin{center}
\begin{venndiagram2sets}[labelA=A,labelB=I,labelOnlyA={37},labelOnlyB={6},labelAB={4},labelNotAB={9}]
\end{venndiagram2sets}
\end{center}
La probabilité qu’une personne choisie au hasard dans ce groupe ne parle aucune des deux langues est $\dfrac{9}{50}$.

\subsection{}
Un sac contient cinq jetons numérotés : deux verts et trois rouges. Ils sont indiscernables au toucher.\\
On tire au hasard un premier jeton du sac et on note sa couleur. On remet le jeton dans le sac puis on tire au hasard un second jeton et on note sa couleur.\\
%Quelle est la probabilité d’obtenir deux jetons verts ?
Notons les jetons $V_1$, $V_2$, $R_1$, $R_2$ et $R_3$.\\
$\Omega=\left\{\left(V_1~;~V_1\right)~;~\left(V_1~;~V_2\right)~;~\left(V_1~;~R_1\right)~;~\left(V_1~;~R_2\right)~;~\left(V_1~;~R_3\right)\cdots\right\}$.\\
$\Omega$ contient 25 couples.\\
4 couples correspondent à deux jetons verts : $\left(V_1~;~V_1\right)$, $\left(V_1~;~V_2\right)$, $\left(V_2~;~V_1\right)$ et $\left(V_2~;~V_2\right)$.\\
La probabilité d’obtenir deux jetons verts est $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{25}}}$.


\subsection{}
Mathieu va à la cantine. Il a le choix entre :

\begin{itemize}
\item trois entrées (salade, avocat, charcuterie)

\item deux plats (poisson, viande)

\item deux desserts (fruit, yaourt)
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item %
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=40mm,treesep=5mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{salade}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{avocat}\taput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{charcuterie}\tbput{ $$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{poisson}\taput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{viande}\tbput{ $$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{fruit}\taput{ $$}
\Tdot~[tnpos=r]{yaourt}\tbput{ $$}
}
}
}


\end{center}

\item %Combien de menus peut-il confectionner ? (on admet qu'il prend une entrée, un plat et un dessert)
Le nombre de menus est le nombre de branches de dernière génération : il y a 12 menus possibles.

\item Mathieu choisit  au hasard chacune des composantes de son menu.

\noindent %Quelle est la probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit ?
La probabilité que celui-ci comporte une salade et un fruit est $\dfrac{2}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{6}}}$ (2 choix possibles pour le plat principal).

\end{enumerate}

\subsection{}
Pour organiser 1e passage à l'oral de 1eur épreuve de langue, les élèves tirent au hasard trois cartons, un dans chacune des trois urnes.\\
La première urne contient 1es 1ettres \og{}A\fg{}, \og{}B\fg{} et \og{}\fg{}C. La seconde ume contient les nombres \og{}25\fg{} et \og{}27\fg{}.\\ 
La dernière ume contient les mots \og{}Matin\fg{} et \og{}Après-midi\fg{}.\\ 
Obtenir le tirage (A ; 25 ; Matin) signifie que l'élève passera son oral le 25 juin au matin avec le sujet A. 

\begin{enumerate}
\item %Décrire la situation à l'aide d'un arbre.


\item %Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Il y a 12 tirages possibles $(3\times 2\times 2=12)$

\item Après le tirage, on choisit un élève au hasard. 

\begin{enumerate}
\item %Quelle est 1a probabilité que l'élève choisi passe 1e matin ?
La probabilité que l'élève choisi passe 1e matin est $\dfrac{1}{2}$

\item %Quelle est 1a probabilité que l'élève choisi passe 1e 27 juin ?
La probabilité que l'élève choisi passe 1e 27 juin est $\dfrac{1}{2}$

\item %Quelle est 1a probabilité que l'élève choisi soit interrogé sur le sujet C ?
La probabilité que l'élève choisi soit interrogé sur le sujet C est $\dfrac{1}{3}$

\item %Quelle est 1a probabilité que l'élève choisi passe l'après-midi avec le sujet B ? 
La probabilité que l'élève choisi passe l'après-midi avec le sujet B est $\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  