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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 27 (systèmes de deux équations)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
On veut résoudre le système de deux équations linéaires à deux inconnues suivant : \systeme{3x+y=5@L_{*},2x+3y=7}\\
%On cherche tous les couples $(x~;~y)$ qui vérifient simultanément ces deux équations.\\
%Pour cela, on va utiliser la \textbf{\textcolor{blue}{méthode par substitution}}.

\begin{enumerate}[1)]
\item %En utilisant la ligne $L_1$, écrire $y$ en fonction de $x$.
D'après $L_1$, on a : $3x+y=5\iff \boxed{\textcolor{red}{y=-3x+5}}$

\item %En remplaçant $y$ par l'expression trouvée dans la ligne $L_2$, trouver une équation dans laquelle ne figure plus que la variable $x$.
On remplace $y$ par $-2x+5$ dans $L_2$ : \\
On obtient : \\
$2x+3(-3x+5)=7\iff 2x-9x+15=7\\
\iff -7x+15=7\iff -7x=-8\iff x=\dfrac{8}{7}$.

\item %Résoudre cette équation.
voir ci-dessus.

\item %Remplacer la valeur trouvée de $x$ dans l'expression de la question 1) pour trouver la valeur de $y$.
On a : $y=-3x+5=-3\times \dfrac{8}{7}+5=-\dfrac{24}{4}+5=-\dfrac{11}{7}$

\item %Conclure.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(\dfrac{8}{7}~;~\dfrac{11}{7}\right)\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soident les deux droites $d$ d'équation $y=3x+5$ et \\
$d'$ d'équation $y=-2x-7$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Expliquer  pourquoi ces deux droites sont sécantes.
Le coefficient directeur de la droite $d$ est -3 et celui de $d'$ est -2 ; $3\neq 2$ donc ces deux droites ne sont pas parallèles ; elles sont sécantes en un point.

\item Les coordonnées $(x~;~y)$ du point d'intersection de ces deux droites sont donc solutions du système \systeme{y=3x+5@L_{*},y=-2x-7}.\\
%Résoudre ce système.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On en déduit : $3x+5=-2x-7\\
\iff 3x+2x=-7-5\iff 5x=-12\iff \boxed{\textcolor{red}{x=-\dfrac{12}{5}}}$.

\item Or $y=3x+5$ donc $y=2\times \left(-\dfrac{12}{5}\right)+5=-\dfrac{36}{5}+5=-\dfrac{11}{5}$.
\end{enumerate}

\item %Conclure.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\left(-\dfrac{12}{5}~;~-\dfrac{11}{5}\right)\right\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut résoudre le système \systeme{2x+7y=30@L_{*},3x-8y=-29}.\\
On ne peut pas facilement exprimer $x$ en fonction de $y$ ou $y$ en fonction de $x$.\\
On va utiliser la \textbf{\textcolor{blue}{méthode par combinaison}}.\\
Pour cela, on multiplie chaque ligne par un nombre pour obtenir le même coefficient (au signe près) pour $x$ ou par $y$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quel est le plus petit multiple commun à 2 et à 3 ?
Le plus petit multiple commun à 2 et à 3 est 6.

\item %Par quel nombre faut-il multiplier la ligne $L_1$ pour obtenir $6x$ ?
Pour obtenir $6x$, il faut multiplier $L_1$ par 3.

\item %Par quel nombre faut-il multiplier la ligne $L_2$ pour obtenir $6x$ ?
Pour obtenir $6x$, il faut multiplier $L_2$ par 2.

\item %Quel système obtient-on alors ?
On a : \\
 \systeme{2x+7y=30@L_{*},3x-8y=-29} qui devient :\\
 \sysautonum{L’_{*}\longleftarrow}
\systeme{6x+21y=90@3L_1,
6x-16y=-58@2L_2}
 
\item En soustrayant les deux lignes $L'_1-L'_2$, on obtient :\\
$6x-6x+21y-(-16y)=90-(-58)\iff 37y=148\\
\iff y=\dfrac{148}{37}=4$ ; $\boxed{\textcolor{red}{y=4}}$.


\item %En remplaçant $y$ par la valeur trouvée dans une des deux équations du premier système, trouver la valeur de $x$.
On remplace $y$ par 4 par exemple dans la première équation $L_1$, on trouve :\\
$2x+7\times 4=30\iff 2x+28=30\iff 2x=2\iff \boxed{\textcolor{red}{x=1}}$

\item %Conclure.
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(1~;~4)\}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Liban mai 2008}}
\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ représentent respectivement le prix d'une boule et celui d'une guirlande. Ces prix sont exprimés en euros.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20\:\% est $C=0,8$. Les prix sont donc multipliés par 0,8.

		\item L'achat du deuxième client se traduit par l'équation :
		
$5\times 0,8x + 5\times 0,8y = 25,6$ donc $4x+4y = 25,6$.

En simplifiant par 4 on obtient : $\boxed{\textcolor{red}{x + y=6,4}}$.
	\end{enumerate}
	
\item On obtient le système : 
\syssubstitute{.,}
\systeme{6x+y=18.4@L_{*},x+y=6.4}
%$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 6x+y&18,4\quad (1) \\ x+y&6,4\quad (2) \\ \end{array} \right.$

De $L_2$, on obtient $y=6,4-x$, valeur que l'on remplace dans $L_1$.

$6x+6,4-x=18,4 \iff  5x=18,4-6,4=12\\
\iff x=\dfrac{12}{5}=2,40$.\\
Alors : $y = 6,4 - 2,4 = 4$.

\item \fbox{\textcolor{red}{\begin{minipage}{7cm}
Le prix d'une boule est 2,40~\euro et celui d'une guirlande est 4~\euro.
\end{minipage}}}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Brevet Centres étrangers juin 2008}}
\begin{enumerate}
\item Soit le système :\\
 \systeme{5x+4y=88@L_{*},x+2y=26}

D'après $L_2$,  $x = 26 - 2y$ et  en substituant dans la première équation $L_1$ :\\
$5(26 - 2y) + 4y = 88\iff 130 - 10y + 4y = 88\iff 130 - 88 = 10y - 4y\iff 42 = 6y\iff y = 7$.\\
On en déduit : $x = 26 - 2\times 7 = 26 - 14 = 12$.

$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{(12~;~7)\}}}$
\item ~%Dans une grande surface, les DVD et les CD sont en promotion.
 
%Les DVD coûtent tous le même prix. Les CD coûtent tous le même prix.
%
%Paul achète 5 DVD et 4 CD pour 88~\euro.
% 
%Louis achète un DVD et 2 CD. Il paie 26~\euro.
% 
%Quel est le prix d'un DVD ?
%
%Quel est le prix d'un CD ?
Si $x$ est le prix d'un DVD et $y$ celui d'un CD, on a :\\
 \systeme{5x+4y=88,x+2y=26} qui est le système de la question 1. 

\fbox{\textcolor{red}{\begin{minipage}{7cm}
Le prix d'un DVD est donc de 12~\euro{} et celui d'un CD de 7~\euro{}.
\end{minipage}
}}
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  