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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no  22 (inéquations-statistiques)}}\end{center}




\subsection{}%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-inequations-et-tableaux-de-signes/
Résoudre les inéquations suivantes :



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item $x^2\leqslant 1\iff x^2-1\leqslant 0\iff (x+1)(x-1)\leqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Signe de $x+1$ :\\
$x+1=0\iff x=-1$\\
$x+1>0\leqslant x>-1$

\item Signe de $x-1$ :\\
$x-1=0\iff x=1$\\
$x-1>0\leqslant x>1$

\item Tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&1&&\pI\\
\hline
x+1&&-&\z&+&\l&=&\\
\hline
x-1&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
(x+1)(x-1)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{red}{Conclusion :}} $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-1~;~1]}}$.\\
On retrouve cela graphiquement en traçant la parabole représentative de la fonction carré, en cherchant les abscisses des points de la parabole ayant une ordonnée inférieure ou égale à 1 :
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,9)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,9)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,9)
\psplot[linewidth=2pt]{-3}{3}{x^2}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=2pt,linecolor=blue](-3,1)(3,1)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=3pt,linecolor=red](-1,0)(1,0)
\end{pspicture}

\end{center}

\end{enumerate}
\item $\dfrac{2x+1}{x+2}\geqslant 3$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : $x+2=0\iff x=-2$.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Résolution}} :
-2 est une valeur interdite : l'ensemble de définition est $\mathscr{D}=\-\infty~;~-2[ \cup ]-2~;~+\infty[==\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$
Pour $x\neq -2$, $\dfrac{2x+1}{x+2}\geqslant 3\iff \dfrac{2x+1}{x+2}-3\geqslant 0\iff \dfrac{(2x+1)-3(x+2)}{x+2}\geqslant 0\\
\iff \dfrac{2x+1-3x-6}{x+2}\geqslant 0\iff \dfrac{-x-5}{x+2}\geqslant 0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{-x-5}$}}\\
$-x-5=0\iff -x=5\iff x=-5$ (en multipliant par -1)\\
$-x-5>0\iff -x>5\iff x<-5$ (on multiplie par -5 négatif, donc l'inégalité change de sens)

\item  \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{x+2}$}}\\
$x+2>0\iff x>-2$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-5&&-2&&\pI\\
\hline
-x-5&&+&\z&-&\bb&-&\\
\hline
x+2&&+&\l&-&\bb&-&\\
\hline
\dfrac{-x-5}{x+2}&&-&\z&+&\bb&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :\\
On veut que le quotient soit positif ou nul : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=[-5~;~-2[}}$ (on exclut -2 qui est une valeur interdite)
\end{enumerate}

\item $\dfrac{2}{x-2}<\dfrac{3}{x+1}$
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Ensemble de définition}} : les dénominateurs ne peuvent pas s'annuler donc -1 et 2 sont des valeurs interdites :\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1~;~2\right\}=]-\infty~;~-1[ \cup ]-1~;~2[\cup ]2~;~+\infty[ }}$

\item On suppose que $x\in\mathscr{D}$ :\\
Alors : \\
$\dfrac{2}{x-2}<\dfrac{3}{x+1}\\
\iff \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x+1}<0\\
\iff \dfrac{2(x+1)-3(x-2)}{(x-2)(x+1)}<0\\
\iff \dfrac{2x+2-3x+6}{(x-2)(x+1)}<0\\
\dfrac{-x+8}{(x-2)(x+1)}<0$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{-x+8}$}}\\
$-x+8=0\iff -x=-8\iff x=8$\\
$-x+8>0\iff -x>-8\iff x<8$ (car on multiplie par -1, négatif, donc l'iinégalité change de sens)

\item  \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{x-2}$}}\\
$x-2>0\iff x>2$

\item  \textbf{\textcolor{blue}{Signe de $\mathbf{x+1}$}}\\
$x+1>0\iff x>-1$

\item \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de signes :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-1&&2&&8&&\pI\\
\hline
-x+8&&+&\bb&+&\bb&+&\z&-&\\
\hline
x-2&&-&\bb&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
x+1&&-&\bb&+&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{-x+8}{(x-2)(x+1)}&&+&\bb&-&\bb&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Conclusion :}}\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]-1~;~2[ \cup [8~;~+\infty[}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}

\subsection{}
Le taux d'augmentation est $t=\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}=\dfrac{1,30-1,29}{1,29}\approx 0,0775=\dfrac{7,75}{100}=\boxed{\textcolor{red}{7,75\:\%}}$.

\subsection{}% Brevet Pondichéry avril 2006
Voici le diagramme en bâtons des notes obtenues par une classe de Troisième de 25 élèves au dernier devoir de mathématiques

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(11,6)
\psaxes[Ox=7]{->}(0,0)(11,6)
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(11,\n)}
\psline[linewidth=1.5pt](1,0)(1,2)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0)(2,3)
\psline[linewidth=1.5pt](3,0)(3,1)
\psline[linewidth=1.5pt](4,0)(4,3)
\psline[linewidth=1.5pt](5,0)(5,5)
\psline[linewidth=1.5pt](6,0)(6,4)
\psline[linewidth=1.5pt](7,0)(7,1)
\psline[linewidth=1.5pt](8,0)(8,3)
\psline[linewidth=1.5pt](9,0)(9,2)
\psline[linewidth=1.5pt](10,0)(10,1)
\uput[ul](12,0){Notes}\uput[r](0,6){Effectifs}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip


\begin{enumerate}
\item  %Calculer la moyenne des notes.
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Note&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17\\
\hline
Effectif&2&3&1&3&5&4&1&3&2&1\\
\hline
\end{tabularx}

La moyenne est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(8\times 2)+(9\times 3)+\cdots+(17\times 1)}{2+3+\cdots+1}=\dfrac{16+27+10+33+60+52+14+45+32+17}{25}=\dfrac{306}{25}=\boxed{\textcolor{red}{12,24}}$

\item  %Déterminer la médiane des notes.
Il y a 25 notes. La médiane est la note qui sépare l'effectif en deux moitiés : c'est la 13\ieme{} note : \fbox{\textcolor{red}{Me=12}}

\item  %Calculer le pourcentage des élèves ayant obtenu une note strictement supérieure à 13.
9 élèves sur 25 ont obtenu une note strictement supérieure à 13.\\
$\dfrac{7}{25}=\dfrac{28}{100}=\boxed{\textcolor{red}{28\:\%}}$
\end{enumerate}






\subsection{}%Brevet Asie-Madagascar juin 2006
L'histogramme ci-dessous illustre une enquête faire sur l'âge des 30 adhérents d'un club de badminton mais le rectangle correspondant aux adhérents de 16 ans a été effacé.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(5,15)
\psaxes[Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(5,15)
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(5,\n)}
\uput[d](1,0){14} \uput[d](2,0){15} \uput[d](3,0){16} \uput[d](4,0){17} \uput[d](5,0){Âge}
\uput[r](0,15.2){Effectif} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.75,0)(1.25,7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.75,0)(2.25,6)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.75,0)(4.25,10)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer le nombre d'adhérents ayant 16 ans.
Le nombre d'adhérents ayant 16 ans est $30-(7+6+10)=30-23=\boxed{\textcolor{red}{7}}$.

\item %Quel est le pourcentage du nombre d'adhérents ayant 15 ans ?
Le pourcentage du nombre d'adhérents ayant 15 ans est $\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{20}{100}=\boxed{\textcolor{red}{20\:\%}}$.

\item %Quel est l'âge moyen des adhérents du club ? Donner la valeur arrondie au dixième.
L'âge moyen des adhérents est :\\
$\overline{x}=\dfrac{(7\times 14)+(6\times 15)+(7\times 16)+(10\times 17)}{30}=\dfrac{98+90+112+170}{30}=\dfrac{470}{30}=\dfrac{47}{3}\approx \boxed{\textcolor{red}{15,7}}$.

\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous pour réaliser un diagramme  semi-circulaire représentant la répartition des adhérents selon leur âge (on prendra un rayon de 4 cm).
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Âge&14 ans&15 ans&16 ans&	17 ans&	Total\\ \hline
Nombre d'adhérents&	7&6&7&10&	30\\ \hline
Mesure de l'angle (en degrés)&42&36&42&60&180\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Diagramme semi-circulaire (se trace à l'aide d'un rapporteur):
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,5)
\pswedge[linewidth=2pt, fillstyle=solid,fillcolor=blue!30]{4}{0}{42}
\pswedge[linewidth=2pt, fillstyle=solid,fillcolor=red!30]{4}{42}{78}
\pswedge[linewidth=2pt, fillstyle=solid,fillcolor=yellow!30]{4}{78}{120}
\pswedge[linewidth=2pt, fillstyle=solid,fillcolor=cyan!30]{4}{120}{180}
\uput[u](2,0.7){14 ans}
\uput[u](1.7,2){15 ans}\uput[u](-0.4,3){16 ans}\uput[u](-3,1){17 ans}
\end{pspicture}
\end{center}

\label{fin}
\end{document}  