<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 20 (Ã©quations)}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Trouver une Ã©quation dont les uniques solutions sont 1~;~2~;~3~;~4 et 5.
Une Ã©quation dont les uniques solutions sont 1~;~2~;~3~;~4 et 5 est par exemple $\boxed{\textcolor{red}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)=0}}$

\subsection{}
%En imprimant un exercice de rÃ©solution d'Ã©quation, l'imprimante a laissÃ© une tÃ¢che d'encre, ce qui fait qu'une partie de l'Ã©quation est illisible.\\
%On peut lire : montrer que l'Ã©quation \\
%$(2x-\cdots)(\cdots x+2)=0$ a pour solutions $-\dfrac{2}{7}$ et $\dfrac{3}{2}$.\\
%Retrouve l'Ã©quation proposÃ©e initialement.
L'Ã©quation est de la forme $(2x-a)(b x+2)=0$ qui a our solutions $\dfrac{a}{2}$ et $-\dfrac{2}{b}$.\\
On en dÃ©duit $a=3$ et $b=7$.\\
L'Ã©quation est $\boxed{\textcolor{red}{(2x-3)(7 x+2)=0}}$.

\subsection{}
RÃ©soudre l'Ã©quation : $(3x-7)(5x+3)=0$

\subsection{}
On veut rÃ©soudre l'Ã©quation \[(5x+8)(3x-1)-\left(9x^2-6x+1\right)=0.\]
\begin{enumerate}[a)]
\item %Factoriser $9x^2-6x+1$.
$9x^2-6x+1=(3x)^2-2=\times 3x\times 1+1^2=\boxed{\textcolor{red}{(3x-1)^2}}$

\item %En dÃ©duire que l'Ã©quation s'Ã©crit \[(3x-1)(2x+9)=0.\]
L'Ã©quation s'Ã©crit $(5x+8)(3x-1)-\left(9x^2-6x+1\right)=0\iff \boxed{\textcolor{red}{(5x+8)(3x-1)-(3x-1)^2=0}}$

\item %RÃ©soudre cette Ã©quation.
$(5x+8)(3x-1)-(3x-1)^2=0\\
\iff (3x-1)\left[(5x+8)-(3x-1)\right]=0\\
\iff (3x-1)(5x+8-3x+1)=0\\
\iff \boxed{\textcolor{red}{(3x-1)(2x+9)=0}}$.\\
Un produit de facteurs est nul si seulement si l'un des facteurs est nul :\\
$x=\dfrac{1}{3}$ ou $x=-\dfrac{9}{2}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{9}{2}~;~\dfrac{1}{3}\right)}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut rÃ©soudre l'Ã©quation $6x^2+11x-35=0$.

\subsubsection*{\textcolor{red}{RÃ©solution graphique}}

\begin{enumerate}[a)]
\item %Montrer que $6x^2+11x-35=0$ Ã©quivaut Ã&nbsp; \[x^2=-\dfrac{11}{6}x+\dfrac{35}{6}.\]
$6x^2+11x-35=0\iff 6x^2=-11x+35\\
\iff x^2=\dfrac{-11x+35}{6}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{11}{6}x+\dfrac{35}{6}}}$.

\item On appelle $f$ la fonction $x : x\mapsto x^2$ et $g$ la fonction $x : x\mapsto -\dfrac{11}{6}x+\dfrac{35}{6}$.\\
Sur le graphique ci-dessous on a reprÃ©sentÃ© la parabole $\mathscr{P}$ reprÃ©sentative de $f$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8,yunit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-2)(4,16)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-6,-2)(4,16)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](-6,-2)(4,16)
\uput[r](3,9){$\mathscr{P}$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-4}{4}{x^2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5.3}{3.5}{(35-11*x)/6}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-5,15)(1,4)(-3.5,12.25)(1.67,2.78)
\end{pspicture}

\end{center}
Pour reprÃ©senter la droite reprÃ©sentative de $g$, on a besoin des coordonnÃ©es de deux points.\\
ComplÃ©tons le tableau de valeurs :
\begin{center}
$\begin{array}{|*{3}{c|}}\hline
x&amp;-5&amp;1\\
\hline
g(x)&amp;15&amp;4\\
\hline
\end{array}$
\end{center}
%Calculer $g(-5)$ et $g(1)$.

\item %Placer les deux points correspondants sur le graphique.
Voir graphique

\item  %En dÃ©duire les valeurs approchÃ©e de l'Ã©quation \[6x^2+11x-35=0.\]
Les solutions de l'Ã©quation sont les abscisses des points d'intersection des deux courbes.\\
On trouve $x_1\approx -3,5$ et $x_2\approx 1,7 $

\end{enumerate}

\subsubsection*{\textcolor{red}{RÃ©solution algÃ©brique}}

\begin{enumerate}[a)]
\item %VÃ©rifier que $6x^2+11x-35=(2x+7)(3x-5)$
$(2x+7)(3x-5)=6x^2-10x+21x-35=6x^2+11x-35$ donc $\boxed{\textcolor{red}{6x^2+11x-35=(2x+7)(3x-5)}}$

\item %En dÃ©duire les solutions exactes de l'Ã©quation \[6x^2+11x-35=0\]
L'Ã©quation s'Ã©crit $(2x+7)(3x-5)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul, si et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{7}{2}~;~\dfrac{5}{3}\right)}}$. (Valeurs exactes).\\
$-\dfrac{7}{2}=-3,5$\\
$\dfrac{5}{3}\approx 1,7$.\\
On retrouve les solutions approchÃ©es trouvÃ©s graphiquement. 
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>