\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}




\begin{center}\section*{\textcolor{red}{2\up{nde} : correction du TD \no 18  sur les vecteurs (colinéarité)}}\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}6\\-4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}	-12\\8\end{pmatrix}$.\\
%Sont-ils colinéaires ?
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\begin{vmatrix}6&-12\\-4&8\end{vmatrix}=6\times 8-(-4)\times (-12)\\
=48-48=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

\item Même question avec $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}\sqrt{7}-1\\1\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}6\\\sqrt{7}+1\end{pmatrix}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=\begin{vmatrix}\sqrt{7}-1&6\\1&\sqrt{7}+1\end{vmatrix}\\
=\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)-1\times 6=\sqrt{7}^2-1^2-6\\
=7-1-6=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
$\det\left(\overrightarrow{u}~;~\overrightarrow{v}\right)=0$ donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont \textbf{\textcolor{red}{colinéaires}}.

\subsection{}
On considère, dans un repère, les points \\
$A(- 2~;~3)$, $B(2~;~1)$ et $C(4~;~0)$.
%Les points A, B et C sont-ils alignés ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-(-2)\\1-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}}}$.

\item $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-(-2)\\0-3\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}}}$.

\item $\det\left(\overrightarrow{(AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)=\begin{vmatrix}4&6\\-2&-3\end{vmatrix}=-12-(-12)\\
=-12+12=\boxed{\textcolor{red}{0}}$

\item Puisque leur déterminant est nul, les deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : $A$, $B$ et $C$ sont alignés.


\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
$ABC$ est un triangle quelconque. $I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[BC]$.\\

\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(0,0)(7,7)
\pspolygon(3,6)(1,3)(6,1)
\uput[u](3,6){A}
\uput[d](1,3){B}
\uput[d](6,1){C}
\uput[d](2,4.5){I}
\uput[d](4.5,3.5){J}
\psline(2,4.5)(4.5,3.5)
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}[a)]
\item %Exprimer le vecteur $\overrightarrow{IA}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{IA}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

\item %Exprimer le vecteur $\overrightarrow{AJ}$ en fonction du vecteur $\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %Compléter : $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{I\cdots}+\overrightarrow{\cdots J}$
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}$

\item %En déduire une relation entre le vecteur $\overrightarrow{IJ}$ et le vecteur $\overrightarrow{BC}$
On en déduit : \\
$\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\\
=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{IJ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}}}$ (on retrouve un résultat de la réciproque du théorème de Thalès)
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $[AB]$ un segment. On veut construire le point $D$ tel que $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}$.\\
%Montrer que cette égalité se transforme en \[\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}.\\\]
%Construire alors le point $D$.
$\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=-\overrightarrow{AD}+4\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}\right)\\
=-\overrightarrow{AD}+4\left(-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}\right)=-5\overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{AB}$.\\
Donc : $\overrightarrow{DA}+4\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow -5\overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}\\
\Leftrightarrow 5\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{AB}}}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,4)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(7,4)
%\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(7,4)
\pstGeonode(1,1){A}(6,3){B}(5,2.6){D}
\pstLineAB[linecolor=blue]{A}{B}
%\pstHomO[HomCoef=0.8,PosAngle=-45]{A}{A,A}[D,D]
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Trois méthodes pour montrer le même résultat}}
Soit ABCD un rectangle. Soit  E le point du segment [AB] tel que $\text{AE}=\dfrac{2}{3}\text{AB}$ et le point F du segment [BC] tel que $\text{BF} =\dfrac{1}{3}\text{BC}$.\\
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psline(0,0)(7,0)
\psline(7,0)(7,3)
\psline(7,3)(0,3)
\psline(0,3)(0,0)
\psplot{-1}{8}{(-0--3*x)/7}
\psplot{-1}{8}{(-4.67--1*x)/2.33}
\begin{scriptsize}
\uput[ul](0,0){\blue{$A$}}
\rput[bl](7.08,0.12){\blue{$B$}}
\rput[bl](7.08,3.12){\blue{$C$}}
\rput[bl](0.08,3.12){\blue{$D$}}
\rput[bl](4.74,0.12){\darkgray{$E$}}
\rput[bl](7.08,1.12){\darkgray{$F$}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\noindent  \textbf{\textcolor{red}{Méthode 1 : solution analytique}}
\begin{enumerate}[1)]
\item  %Dans le repère $(A~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}})$, quelles sont les coordonnées des points A, B, C, D, E, F?
Dans le repère $(A~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}})$, on a :\\
$A(0~;~0)$, $B(1~;~0)$, $C(1~;~1)$, $D(0~;~1)$, $E\left(\dfrac{2}{3}~;~0\right)$ et $F\left(1~;~\dfrac{1}{3}\right)$.

\item  %Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{AC}}$ et $\overrightarrow{\text{EF}}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ? 
$\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$~;~$\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}-0=\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}}}$.\\
Il est clair que $\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 2 : solution vectorielle}}\\
%Démontrer (à l'aide de la relation de Chasles) que $\overrightarrow{\text{EF}}= \dfrac{1}{3} \overrightarrow{\text{AC}}$. (indication : faire intervenir le point B)
%
%\noindent  Que peut-on en déduire pour les droites (EF) et (AC) ?\\
$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}}}$.\\
On en déduit que $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{EF}$ sont colinéaires.\\
Alors $(EF)\parallel (AB)$

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Méthode 3 : utilisant les configurations}}\\
%En utilisant la réciproque du théorème de Thalès, démontrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
Dans le triangle $BAC$, $\dfrac{BE}{BA}=\dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{1}{3}$.\\
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles et $EF=\dfrac{1}{3}AC$.



\subsection{}%https://www.annales2maths.com/2nd-exercices-corriges-vecteurs-colinearite/
On considère trois points $A$ , $B$  et $C$ non alignés d’un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Construire les points  $E$ et $F$ tels que :
\[\overrightarrow{CE}=-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\text{ et } \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\]
\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-6,-5)(8,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6,-5)(8,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](-6,-5)(8,5)
\pstGeonode[PosAngle=90](2,-2){A}(6,2){B}(-1,0){C}(-2,4){D}(7,-2){E}(5,-4){C'}(-5.5,3){A'}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=red]{B}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=red]{C}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=blue]{C'}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=blue]{E}{C'}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=blue]{A'}{A}
\pstLineAB[arrows=>,linewidth=2pt,linecolor=blue]{D}{A'}
\pstLineAB[linewidth=2pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{D}{E}
\end{pspicture}

\end{center}
\item  On munit le plan d’un nouveau repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)$.
 
 \begin{enumerate}
\item %Déterminer les coordonnées des points  $A$, $C$, $E$ et $D$ dans ce repère.
Dans ce repère, on a :\\
$A(0~;~0)$, $B(1~;~0)$, $C(0~;~1)$.\\
$\overrightarrow{\overrightarrow{AE}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+\left(-2\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)\\
=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}}}$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{E\left(\dfrac{1}{2}~;~-1\right)}}$ (dans le repère $\left(A~;~\overrightarrow{AB}~;~\overrightarrow{AC}\right)$.\\
De même : $ \overrightarrow{AD}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\\
=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right)= \dfrac{5}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\left(-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}}}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\2\end{pmatrix}}}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{D\left(\dfrac{1}{2}~;~2\right)}}$

\item %Les droites $(DE)$ et $(CA)$ sont-elles parallèles ?
Dans ce repère :\\
$\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}0\\-3\end{pmatrix}$ ; $\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$.\\
Alors : $\overrightarrow{DE}=3\overrightarrow{CA}$.\\
Ces deux vecteurs sont  colinéaires et les droites $(DE)$  et $(CA)$ sont parallèles.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}